図形の問題ver.20220519 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は教員採用試験で出題された図形の問題です。

今回は奈良県教員採用試験で出題された問題です。

難易度は☆☆☆です。

基本的には三角形の外接円の半径と内接円の半径を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

問題文を見る限り、三角形の外接円の半径と内接円の半径を求めればよさそうです。

この類の問題は大学入試でも重要ですので、大学受験される方も解いておくべき問題かと思います。

まず、三角形の外接円の半径を求めるには正弦定理を用います。

そのためには正弦の値が必要です。

今回の問題の場合は、三角形の3辺の長さが与えられていますので、どの角の正弦の値を出しても良いですが、この状況だと直接は出せません。

余弦定理なら余弦の値が求められますので、その値を求めた後、三角比の相互関係を使って正弦の値を求めます。

今回は $\angle A$ で話を進めていますが、指定がなければ他の角の余弦を求めても構いません。

計算が楽そうなものを選ぶのが一番良いですね。

余弦定理で余弦の値が求まったら、次は正弦定理を使って三角形の外接円の半径を求めます。

正弦定理は $\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とするとき

$\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}}=\frac{CA}{\sin{B}}=\frac{AB}{\sin{C}}=2R$

でした。

三角形の内接円の半径は三角形の面積から求めます。

$\triangle ABC$ の面積を $S$ 、その三角形の内接円の半径を $r$ とすると、次の関係式がありました。

$\displaystyle S=\frac{1}{2}r(AB+BC+CA)$

また、三角形の面積は次でも求めることができます。

$\displaystyle S=\frac{1}{2}AC\times AB\times \sin{A}$

まずは後者の面積を求める公式を使って三角形の面積を求めておきます。

その次に前者の三角形の面積を求める関係式に話を持ち込んで三角形の内接円の半径を求めます。

この問題のゴールは $R-r$ の値を求めることですので、三角形の外接円の半径と内接円の半径が求まれば、 $R-r$ を計算してゴールになります。

正弦定理・余弦定理の基本的な問題でした。

大学入試でもよくみる問題ですが、その問題に誘導無くなった感じです。

ただ、解き方が頭に入っていればそこまで難しくはありません。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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