マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

旭川大学の問題【2022年一般入試・2次関数(2)】

2次関数入試問題

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今週は旭川大学2022年一般入試で出題された問題です。

今回は2期一般入試で出題された2次関数の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2次関数と絶対値を含む関数の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)2次関数 $y=ax^{2}+bx+c$ のグラフが点 $(0,-3),(2,5),(5,2)$ を通るので、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc}c&=&-3\\ 4a+2b+c&=&5\\ 25a+5b+c&=&2\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $a=-1,b=6,c=-3$ となりますので、この2次関数は $y=-x^{2}+6x-3$ ということになります。

平方完成すると $y=-(x-3)^{2}+6$ となりますので、この2次関数のグラフの頂点は $(3,6)$ となります。

絶対値は絶対値記号の中が正のときと負のときに場合分けをして考えることが基本となります。

つまり、関数 $y=|x-3|$ は次のようになります。

$y=\left\{ \begin{array}{cc}x-3&(x\geqq 3)\\ -x+3&(x\lt 3)\end{array}\right.$

グラフに描くと以下のようになります。

青いグラフと緑色のグラフとの交点から $x$ 軸に下ろした垂線で三角形が2つできますが、その２つの三角形の面積を求めるのが最後のミッションです。

底辺が2、高さが2の直角三角形2つの面積を求めますので、求める面積は $4$ となります。

(2)(1)の類題になります。

一般に $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの方程式は $y=f(x-p)+q$ となります。

このことを用いて $y=x^{2}-2x-8$ のグラフを $x$ 軸方向に $+2$ 、 $y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動した2次関数を求めると

$y=(x-2)^{2}-2(x-2)-8+3$

ですが、これを整理すると $y=x^{2}-6x+3$ となります。

2次関数は平方完成をして頂点を求めることが基本ですので、平方完成してみると $y=(x-3)^{2}-6$ となります。したがって、この2次関数のグラフの頂点は $(3,-6)$ となります。

あとは(1)と同じように $y=x^{2}-6x+3$ のグラフと $y=|x-3|$ のグラフとの交点を求めて三角形の面積を求めていきます。

グラフに描くと以下のようになります。

交点は $(0,3)$ と $(6,3)$ 、求める2つの三角形の面積の和は $9$ となります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題は絶対値が含まれているので少し難しかったかもしれません。

旭川大学の問題の中で一番難しいのは2次関数の問題かと思います。

ですが、それが通用するのは次の試験までです。

再来年の入試からは公立大学としての入試になりますので、共通テストが必須となり、経済学部の後期日程の数学では出題範囲が数学Ⅱと数学Bが追加されて難易度が跳ね上がります。

ですので、旭川市立大学を受けるのは今回が大チャンスです！

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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