マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

旭川大学の問題【2022年一般入試・2次関数(1)】

2次関数入試問題

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今週は旭川大学2022年一般入試で出題された問題です。

今回は一般入試1期で出題された2次関数の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数のグラフに接する直接を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)点 $(1,0)$ と $(3,0)$ を通るので、求める2次関数の式を $y=a(x-1)(x-3)$ とおくと、点 $(4,3)$ を通るので

$3=3a$

という方程式が導かれます。この方程式を解くと $a=1$ ですので、求める2次関数の式は $y=x^{2}-4x+3$ となります。

この2次関数を平方完成すると $y=(x-2)^{2}-1$ となりますので、頂点は $(2,-1)$ となります。

したがって、 $-1\leqq x\leqq 1$ における2次関数の最小値は $x=1$ のとき $0$ となります。

この2次関数のグラフと原点を通る直線 $y=mx$ の交点の $x$ 座標は、 $x$ の2次方程式

$x^{2}-4x+3=mx$

の実数解になります。この方程式を整理すると

$x^{2}-(m+4)x+3=0$

となります。この方程式の判別式を $D$ とすると

$D=(m+4)^{2}-12$

です。2次関数のグラフと直線が接するとき、 $D=0$ となりますので $-4\pm 2\sqrt{3}$ となります。

(2)2次関数の式を平方完成すると $\displaystyle y=\left( x+\frac{3}{2}\right) ^{2}-\frac{17}{4}$ ですので、最小値は $\displaystyle x=-\frac{3}{2}$ のとき $\displaystyle -\frac{17}{4}$ です。

2次関数のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さは、 $x$ の2次方程式

$x^{2}+3x-2=0$

を解くと $\displaystyle x=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}$ となります。

求める線分の長さはこの方程式の解の差ですので、それを求めると $\sqrt{17}$ となります。

2次関数のグラフと直線 $y=x+d$ の交点の $x$ 座標は、 $x$ の2次方程式

$x^{2}+3x-2=x+d$

の実数解です。この方程式を整理すると

$x^{2}+2x-2-d=0$ …①

となりますが、この方程式の判別式を $D$ とすると

$D/4=3+d$

となります。2次関数のグラフと直線が接するとき $D=0$ ですので、このときの $d$ の値は $d=-3$ となります。

この数値を方程式①に代入して方程式を解くと $x=-1$ となりますので、接点の座標は $(-1,-4)$ ということになります。

いかがだったでしょうか？

旭川大学の問題で一番難易度の高い問題が2次関数になっている傾向が強いようです。

ですが、問題の中身は2次関数の基礎的な問題ばかりできちんと教科書に載っているような問題を解けるようにしておけばできるものばかりです。

公立大学法人化した後の試験は共通テストの問題を解くことになりますが、文章量が多いのでこれ以上にしんどい問題を解くことになるかと思います。

ですので、旭川市立大学を受験するのは今回が狙い目です。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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