マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2018年2日目第4問】

微分積分入試問題

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今週は東京女子大学2018年の問題です。

今回は文系学部2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

直線と3次関数の曲線で囲まれた面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずは図を描くために3次関数の増減を確認してみます。

$y=-x^{3}+4x$ の導関数は $y^{\prime }=-3x^{2}+4=-(3x^{2}-4)$ ですので、この3次関数は $\displaystyle x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき極値をとります。

3次関数の増減は以下のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{3}&\cdots &\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}&\cdots \\ \hline y^{\prime }&-&0&+&0&-\\ \hline y&\searrow &\displaystyle -\frac{16\sqrt{3}}{9}&\nearrow &\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{9}&\searrow \\ \hline \end{array}$

次に接線を求めます。

曲線 $C$ 上の点 $(t,-t^{3}+4t)$ における接線の方程式は $y=(-3t^{2}+4)x+2t^{3}$ です。

この直線が点 $(2,0)$ を通りますので、 $t$ の方程式 $t^{3}-3t^{2}+4=0$ が成り立ちます。

この方程式を解くと $t=-1,\ t=2$ ですが、求める接線は点 $P(2,0)$ 以外の点で接しますので $t=-1$ となります。

したがって、直線 $L$ の方程式は $y=x-2$ です。

曲線 $C$ と直線 $L$ を図で表すと以下のようになります。

よって、 $Q$ の座標は $(-1,-3)$ となります。

曲線 $C$ と直線 $L$ とで囲まれる部分の面積は

$\displaystyle \int^{2}_{-1}(-x^{3}+3x+2)dx=\frac{27}{4}$

となります。

いかがだったでしょうか？

積分を用いた面積の計算はグラフの上下関係を見ておく必要があります。

グラフを描くのが面倒であれば関数の大小関係を調べるのも良いです。

今回の場合であれば、区間 $-1\leqq x\leqq 2$ で $-x^{3}+4x\geqq x-2$ ですので、 $y=x^{3}+4x$ のグラフが $y=x-2$ のグラフの上側にあることがわかります。

　

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