マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2014年前期日程第3問】

微分積分入試問題

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今週は首都大学東京2013年と2014年の問題です。

今回は2014年文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

絶対値を含む2次関数の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

絶対値記号は場合分けをする必要があります。

$f(x)=\left\{ \begin{array}{cc}x^{2}-6x&(x\geqq 0)\\ x^{2}+4x&(x\lt 0)\end{array}\right.$

グラフは次のようになります。

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(t,f(t))\ (t\gt 0)$ における接線の方程式は、 $f^{\prime }(x)=2x-8$ ですので

$y=(2t-8)x-t^{2}$

となります。この直線が曲線 $y=f(x)$ の $t\lt 0$ の部分で接するということを言い換えると直線 $y=(2t-8)x-t^{2}$ と曲線 $y=x^{2}+4x$ が接するということです。

ですので、 $x$ についての2次方程式 $(2t-8)x-t^{2}=x^{2}+4x$ …①の判別式を $D$ とすると $D=0$ が条件となります。

このときの $t$ の値を求めると $t=3$ となりますので、ここから点 $A$ の座標を求めると $A(3,-15)$ 、点 $B$ は直線と曲線 $y=x^{2}+4x$ との接点ですので、 $t=3$ に対する①の方程式を解くと $x=-3$ より $B(-3,-3)$ ということになります。

したがって、先ほど求めた接線と曲線 $y=f(x)$ のグラフは次のようになります。

曲線 $y=f(x)$ と線分 $AB$ に囲まれる部分がありますので、この部分の面積は直線 $AB$ の方程式が $y=-2x-9$ であることより $18$ となります。

面積を求める計算は次のようになります。

$\displaystyle \int_{-3}^{3}(x^{2}+4x+2x+9)dx+\int_{0}^{3}(x^{2}-8x+2x+9)jdx$

$\displaystyle =\int_{-3}^{0}(x^{2}+6x+9)dx+\int_{0}^{3}(x^{2}-6x+9)dx$

$\displaystyle =\int_{-3}^{0}(x+3)^{2}dx+\int_{0}^{3}(x-3)^{2}dx$

$\displaystyle =\left[ \frac{1}{3}(x+3)^{3}\right] _{-3}^{0}+\left[ \frac{1}{3}(x-3)^{3}\right] _{0}^{3}$

$=9+9=18$

いかがだったでしょうか？

絶対値記号の扱い方がわかればそこまで難しくない問題でした。

関数から面積を求める問題もグラフを描いて上下関係を調べれば、計算の方針も見えてくるだろうと思います。

全体的に見れば少し難しいかもしれませんが、中身は基礎問題が何問か絡み合っているような感じの問題です。

　

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