マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2010年中高共通第1問】

図形と計量・図形の性質教員採用試験の過去問

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今週は2010年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

$\triangle ABC$ において、 $AB=2,\ BC=3,\ CA=4$ のとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\sin{B}$ の値を求めなさい。

(2) $\triangle ABC$ の内接円の半径を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角形の内接円の半径を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

三角形の内接円の半径を求める手順は

(1)三角形の3辺の長さを求める

(2)三角形の面積を求める

(3)三角形の面積から内接円の半径を求める

となります。その理由は、三角形の面積を $S$ 、3辺の長さを $a,\ b,\ c$ 、三角形の内接円の半径を $r$ とすると

$\displaystyle S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$

で求められるからです。三角形の面積については $\displaystyle S=\frac{1}{2}ca\sin{B}$ でも求められますので、先にこの方法で面積を求めておきます。

手順の(1)については、問題文で与えられていますので手順(2)から始めます。3辺の長さが与えたれている場合は、余弦定理で $\cos{B}$ の値を求めます。

$\displaystyle \cos{B}=\frac{2^{2}+3^{2}-4^{2}}{2\cdot 2\cdot 3}=-\frac{1}{4}$

となります。必要な値は $\sin{B}$ の方ですが、これは三角比の相互関係を用いて求めます。これによると $\displaystyle \sin{B}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ となりますので、 $\triangle ABC$ の面積は

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\times 2\times 3\times \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{3\sqrt{15}}{4}$

となります。ここから手順(3)に移ります。 $\triangle ABC$ の内接円の半径を $r$ とおくと、ここまでのことから

$\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}(2+3+4)r$

が成り立ちます。これを $r$ の方程式とみて解くと $\displaystyle r=\frac{\sqrt{15}}{6}$ となります。これが $\triangle ABC$ の内接円の半径になります。

いかがだったでしょうか？

三角形の内接円の半径を求める問題は、教科書の節末問題や章末問題にも出題されているくらいの重要な問題です。

定期テストや大学入試でも出題される可能性がありますので、このタイプの問題は解けるようにしておいたほうが良さそうです。

　

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