マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2022年1日目第1問】

図形と計量・図形の性質入試問題

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今週は東京女子大学2022年の問題です。

今回は文系学部1日目第1問の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角形の内接円の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

三角形の内接円の半径を求めるには

・三角形の3辺の長さ

・三角形面積

これらが必要です。

与えられている条件から三角形の面積が求められますので、まずはそれを求めます。

$\displaystyle \triangle ABC=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin{\angle A}=\sqrt{6}$

あとは辺 $BC$ の長さです。

$\angle A$ が鈍角であることに注意します。三角比の相互関係より $\displaystyle \cos{\angle A}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ですので、 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\displaystyle BC^{2}=9+4-2\times 3\times 2\times \left( -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$=13+4\sqrt{3}$

となりますが、これの平方根をとると二重根号が出てきてしまうので、それを外す必要があります。

$13+4\sqrt{3}=13+2\sqrt{12}$

$=12+1+2\sqrt{12\times 1}$

$=\sqrt{12}+1=2\sqrt{3}+1$

となりますので、 $BC=2\sqrt{3}+1$ となります。

これで $\triangle ABC$ の内接円の半径を求める準備ができましたので、それを求めていきます。

$\triangle ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると

$\displaystyle \frac{1}{2}(3+2+2\sqrt{3}+1)r=\sqrt{6}$

が成り立ちますので、この $r$ についての方程式を解くと $\displaystyle r=\frac{\sqrt{6}(3-\sqrt{3}}{6}$ となります。

したがって、 $\triangle ABC$ の内接円の面積は

$\displaystyle \pi r^{2}=\left( \frac{\sqrt{6}(3-\sqrt{3})}{6}\right) ^{2}=(2-\sqrt{3})$

となります。

いかがだったでしょうか？

最初の三角形の面積を求める問題は簡単でしたが、それ以降の計算が大変でした。

二重根号を外す計算と根号を含む計算を行う必要があるので、そこが難しいのでは無いかと思います。

計算自体は訓練すればなんとかなりますので、たくさん問題を解いて慣れておく必要がありそうです。

それ以外に部分は基礎的な知識だけで解けますので、この問題に関しては計算以外はそこまで難易度は高く無いように思います。

　

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