共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編【図形と計量】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編です。

今回は図形と計量の問題です。

今回の問題の原文

1. $\triangle ABC$ において $AB=6,\ BC=4,\ CA=5$ とし、最も大きい角の大きさを $\theta$ とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $\cos{\theta }$ の値を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ の面積、外接円の半径、内接円の半径をそれぞれ求めよ。

2.円に内接する四角形 $ABCD$ において、 $AB=2,\ BC=4,\ CD=3,\ DA=2$ である。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $\sin{\angle ABC}$ の値と対角線 $AC$ の長さを求めよ。

(2)四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

図形と計量の単元の代表的な問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

図形と計量の単元で重要になる事項は「正弦定理」「余弦定理」「三角形の面積」です。

この3つを運用できるかどうかがカギになります。

(1)3辺の長さがわかっている場合は余弦定理で $\cos{\theta }$ の値をを求めます。角の大小は向かいの辺の大小と一致することを用いると $\angle BCA=\theta$ であることがわかります。余弦定理を用いると

$\displaystyle \cos{\theta }=\frac{25+16-36}{2\cdot 5\cdot 4}=\frac{1}{8}$

三角比の相互関係 $\cos^{2}{\theta }+\sin^{2}{\theta }=1$ を用いると $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{3\sqrt{7}}{8}$ であることが求められます。

三角形の外接円の半径は正弦定理を用いると求めることができます。その値を $R$ とすると $\displaystyle \frac{6}{\sin{\theta }}=2R$ であることより $\displaystyle R=\frac{8\sqrt{7}}{7}$ となります。

三角形の面積は、2辺とその間の角の $\sin$ の値がわかれば求めることができます。今回の三角形の場合は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 5\times 4\times \frac{3\sqrt{7}}{8}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$

となります。三角形の内接円の半径は3辺と三角形の面積がわかれば求めることができます。内接円の半径を $r$ とすると

$\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$

であることを用います。今回の三角形の場合は

$\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{2}r\times (4+5+6)$

が成り立ちますので、この $r$ に対する方程式を解いて $\displaystyle r=\frac{\sqrt{7}}{2}$ となります。

(2)円に内接する四角形の性質として「向かい合う角の和が $180^{\circ }$ 」であることと $\cos{(180^{\circ }-\theta )}=-\cos{\theta }$ であることを用いて進めていきます。

$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$AC^{2}=20-16\cos{B}$ …①

$\triangle CDA$ に余弦定理を用いると

$AC^{2}=13+12\cos{B}$ …②

が成り立ちます。①と②において $AC^{2}$ と $\cos{B}$ の連立方程式と見て解くと $\displaystyle \cos{B}=\frac{1}{4},\ AC=4$ となります。三角比の相互関係より $\displaystyle \sin{B}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ですので、四角形 $ABCD$ の面積を $S$ とすると

$\begin{eqnarray*} S&=&\triangle ABC+\triangle CDA\\ &=&\frac{1}{2}\times 2\times 4\times \frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{2}\times 2\times 3\times \frac{\sqrt{15}}{4}\\ &=&\frac{7\sqrt{15}}{4}\end{eqnarray*}$