マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

島根県教員採用試験の問題ver.20220714

図形と計量・図形の性質教員採用試験の過去問

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今週は島根県教員採用試験の問題です。

今回は令和3年実施の島根県教員採用試験の中学校・特別支援学校受験者用の第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

高校入試ようの問題集でよくみる関数 $y=ax^{2}$ の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$a=2$ のとき、直線 $l$ の方程式は $y=-x+2$ となります。

放物線 $y=x^{2}$ と直線 $y=-x+2$ の交点は連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} y&=&x^{2}\\ y&=&-x+2\end{array} \right.$

の実数解で与えられますが、これは代入法により $x$ の2次方程式

$x^{2}+x-2=0$

を解くことになりますので、この方程式を解いて $x=-2,1$ となります。

$y$ の値も求めると、連立方程式の解は $(x,y)=(-2,4),(1,1)$ となります。

図の位置関係から $A(-2,4)$ 、 $B(1,1)$ であることがわかります。

点 $C$ は直線 $l$ と $x$ 軸との交点になりますが、この点の $x$ 座標は次の連立方程式の解です。

$\left\{ \begin{array}{ccc} y&=&0\\ y&=&-x+2\end{array} \right.$

結局、方程式 $-x+2=0$ を解くことになるのですが、この方程式の解は $x=2$ です。

$y$ 座標は0ですので、点 $C$ の座標は $(2,0)$ となります。

$AB$ の長さと $BC$ の長さが求められれば $AB:BC$ の値が求められますが、ここまでで座標が分かりましたので、2点間の距離の公式で求めることができます。

座標による2点間の距離の公式の証明では三平方の定理を用いるので、三平方の定理だけを使って説明することも可能です。

ですので、この問題は中学生を対象に説明することができるということになります。

$AB=3\sqrt{2}$ 、 $BC=\sqrt{2}$ ですので $AB:BC=3:1$ です。

(1)と(2)では $a$ の値が $a=2$ と設定されていましたが、(3)では $a$ の値は設定されていませんので、 $a$ はわからない状態で考えます。

$a$ の値が定まっていないので、3点 $A,B,C$ の座標を求めるのは困難です。

直線 $l$ に注目すると、 $\triangle AOB$ と $\triangle BOC$ の高さが共通であることがわかります。

したがって、面積比は $\triangle AOB:\triangle BOC=AB:BC$ となります。

点 $A$ と点 $B$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha$ 、 $\beta$ とすると、点 $B$ を通る $x$ 軸に平行な直線を引いて、平行線の比を考えることにより $AB:BC=(\alpha ^{2}-\beta ^{2}):\alpha ^{2}$ であることがわかります。

$AB:BC=5:4$ という条件から $\displaystyle \beta =-\frac{2}{3}\alpha$ が導かれます。

また、 $\alpha$ と $\beta$ は放物線 $y=x^{2}$ と直線 $y=-x+a$ との交点の $x$ 座標ですので、2次方程式の解と係数の関係から

$\displaystyle \frac{1}{3}\alpha =-1,\ \frac{2}{3}\alpha ^{2}=-a$

という関係式がなりたちます。

この2つの式から $\alpha =-3$ 、 $a=6$ となります。

いかがだったでしょうか？

途中までは高校入試に出てきてもおかしくないような問題でした。

最後に2次方程式の解と係数の関係を使いましたが、ここをどうにかしたら中学生でも解ける問題になるのかな？と思います。

良い方法があれば教えてください。

　

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