徳島県教員採用試験の問題【2016年中高共通第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2016年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文

1辺の長さが $3a$ の正四面体 $ABCD$ において、辺 $AC$ 上の点を $P$ 、辺 $AD$ 上の点を $Q$ 、辺 $BD$ を $1:2$ に内分する点を $R$ とおく。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $BP+PQ+QR$ の最小値を求めなさい。

(2)(1)のとき、 $\triangle APQ$ の面積 $S$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

正四面体に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

空間図形の問題ですが、線分に関する問題ですので展開図を考えて話を平面に持っていきます。

展開図を考える

展開図を描いてみると次のようになります。

この図の赤線は $BP+PQ+QR$ が最小になるときのものです。この図を参考にして解き進めていきます。

$\triangle B_{1}B_{2}B_{3}$ は1辺 $6a$ の正三角形ですので $\angle B_{2}B_{1}B_{3}=60^{\circ }$ です。また、 $B_{1}B_{3}=6a,\ B_{1}R=5a$ ですので、 $\triangle B_{1}B_{3}R$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} B_{3}R^{2}&=&B_{1}B_{3}^{2}+B_{1}R^{2}-2\times B_{1}B_{3}\times B_{1}R\cos{60^{\circ }}\\ &=&36a^{2}+25a^{2}-30a^{2}\\ &=&31a^{2}\end{eqnarray*}$

となります。 $B_{3}R\gt 0$ なので $\sqrt{31}a$ となります。この値が $BP+PQ+QR$ の最小値になります。

$\triangle APQ$ の面積を求める

三角形の面積を求めるためには

・底辺と高さを求める

・2辺とその間の角の $\sin$ を求める

のどちらかを進めれば良いですが、今回の場合は前者で進めるのは難しいです。ですので、後者で進めます。

辺 $CD,\ AD,\ AC$ はそれぞれ $B_{2}B_{3},\ B_{3}B_{1},\ B_{1}B_{2}$ と平行ですので、線分の比で線分 $CP$ と線分 $DQ$ の長さを求めると

$\displaystyle CP=\frac{5}{2}a,\ DQ=\frac{12}{5}a$

となります。したがって $AD=AC=3a$ なので $\displaystyle AP=\frac{1}{2}a,\ AQ=\frac{3}{5}a$ です。また、 $\triangle ACD$ は1辺の長さが $3a$ の正三角形ですので $\angle PAQ=60^{\circ }$ です。よって、 $\triangle APQ$ の面積 $S$ は