マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2016年中高共通第5問】

ベクトル教員採用試験の過去問

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今週は2016年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文

ベクトル $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{p},\ \vec{q}$ が $|2\vec{a}+\vec{b}|=1,\ |\vec{a}+2\vec{b}|=2,\ 2\vec{a}+\vec{b}=\vec{p},\ \vec{a}+2\vec{b}=\vec{q}$ を満たすとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\vec{a},\ \vec{b}$ を $\vec{p},\ \vec{q}$ を用いてそれぞれ表しなさい。

(2) $|\vec{a}+\vec{b}|$ の最大値と最小値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

与えられた条件からベクトルの大きさの最大値と最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2つの式から $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を求める

連立方程式の加減法のようにどちらかのベクトルを消去していきます。条件式から

$2\vec{p}-\vec{q}=3\vec{a}$

となりますので、 $\displaystyle \vec{a}=\frac{2}{3}\vec{p}-\frac{1}{3}\vec{q}$ となります。また、

$-3\vec{b}=\vec{p}-2\vec{q}$

ですので、 $\displaystyle \vec{b}=-\frac{1}{3}\vec{p}+\frac{2}{3}\vec{q}$ となります。

(1)をヒントに(2)を解く

先ほど、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を用いて表しました。これを用いると

$\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=\frac{1}{3}\vec{p}+\frac{1}{3}\vec{q}$

となります。 $\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角を $\theta$ とすると、 $|\vec{p}|=1,\ |\vec{q}|=2$ であることより

$\displaystyle |\vec{a}+\vec{b}|^{2}=\frac{5}{9}+\frac{4}{9}\cos{\theta }$

となります。 $0\leqq \theta \leqq \pi$ ですので $-1\leqq \cos{\theta }\leqq 1$ です。したがって、 $|\vec{a}+\vec{b}|$ の最大値は $1$ 、最小値は $\displaystyle \frac{1}{3}$ であることがわかります。

いかがだったでしょうか？

問題構成に注目すると、(1)は(2)のヒントになっているようです。

「どうしてこんな問題が設定されているのか？」ということを考えてみるとわかるかもしれません。

結構、前の問題がヒントになっていたりするので活用しても良いかもせれません。

　

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