徳島県教員採用試験の問題【2016年中高共通第6問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2016年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文

2つの円 $x^{2}+y^{2}=5$ …①、 $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=1$ …②の交点を $A,\ B$ とする。点 $P$ が円①上を動くとき、 $\triangle ABP$ の重心 $G$ の軌跡を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

軌跡を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

与えられている条件を整理してみる

2つの円の式が与えられていますので、これを図示してみます。図は下の青い曲線になります。（赤い曲線が求める軌跡です）

与えられている2つの円が2点で交わっています。軌跡を求めるために必要な情報ですので、これを求めていきます。

2つの円の交点を求める

2つの円の交点の座標は連立方程式

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}+y^{2}&=&5\\ (x-2)^{2}+(y-2)^{2}&=&1\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

の解になります。これを解いていくのですが、後者の式を展開すると

$x^{2}+y^{2}-4(x+y)+8=1$

となります。前者の $x^{2}+y^{2}=5$ を代入すると

$-4(x+y)=-12$

となりますので、 $x+y=3$ となります。したがって $y=3-x$ ですので、これを $x^{2}+y^{2}=5$ の式に代入します。そうすると $x$ の2次方程式

$x^{2}-3x+2=0$

が得られますので、これを解いて $x=1,\ x=2$ となります。よって、求める座標は $(1,2)$ と $(2,1)$ となります。このどちらかを点 $A$ 、もう一方を点 $B$ とします。

点 $P$ を $(s,t)$ とおいて点 $G$ の座標を求める

点 $G$ は $\triangle ABP$ の重心になりますので $\displaystyle G\left( \frac{x+3}{3},\frac{t+3}{3}\right)$ となります。点 $P$ が円 $x^{2}+y^{2}=5$ 上を動きますので、それに合わせて点 $G$ が動きます。ただし、点 $A,\ B,\ P$ で三角形をなす必要がありますので、この3点は異なる点でないといけないことに注意が必要です。

点 $P$ の条件から点 $G$ の軌跡を求める

点 $G$ の座標を $(X,Y)$ とおきます。先ほど求めた点 $G$ の座標と比較すると

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ccc} X&=&\displaystyle \frac{s+3}{3}\\ Y&=&\displaystyle \frac{t+3}{3}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

となります。これを $s$ と $t$ の連立方程式と思って解くと

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ccc} s&=&3(X-1)\\ t&=&3(Y-1)\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

となります。点 $P$ の座標を $(s,t)$ とおきましたが、点 $P$ は円 $x^{2}+y^{2}=5$ 上にありますので $s^{2}+t^{2}=5$ を満たします。ここに先ほどの連立方程式の解を代入すると

$9(X-1)^{2}+9(Y-1)^{2}=5$

したがって $\displaystyle (X-1)^{2}+(Y-1)^{2}=\frac{5}{9}$ という式が得られます。点 $G$ はこの条件を満たしながら動きますので、求める軌跡は円 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{9}$ となります。

条件を満たさない点がないか確認する

求めた軌跡がすべて条件を満たすとは限りませんので、ちゃんと条件を満たしているかどうかをチェックします。今回は点 $P$ が点 $A$ または点 $B$ と一致してはいけないという条件がありますので、この条件を満たしてしまう点を除かないといけません。

点 $P$ が点 $(1,2)$ にあるとき $\displaystyle X=\frac{4}{3},\ Y=\frac{5}{3}$ 、点 $P$ が点 $(2,1)$ にあるとき $\displaystyle X=\frac{5}{3},\ Y=\frac{4}{3}$ となります。点 $G$ がこれらの点にあるときは $\triangle ABP$ が成立しませんので、この点を除いておきます。

以上から、求める点 $G$ の軌跡は円 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{9}$ のうち点 $\displaystyle \left( \frac{4}{3},\frac{5}{3}\right) ,\ \left( \frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)$ を除く部分となります。