マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都立大学の問題【2022年前期日程第4問】

図形と方程式入試問題

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今週は東京都立大学2021年・2022年の問題です。

今回は2022年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題の原文

$C$ を座標平面上の円 $x^{2}+y^{2}=1$ とする。以下の問いに答えなさい。

(1)点 $(a,b)$ を中心とし、[tex; C]に外接する円の半径を $a,\ b$ の式で表しなさい。

(2) $C$ に外接し、直線 $y=3$ に接する円の中心の軌跡の方程式を求めなさい。

(3)(2)で求めた軌跡の方程式を $y=f(x)$ とする。点 $y\leqq f(x)$ の表す座標平面上の領域を動くとき、 $x+2y$ の最大値とそのときの $x,\ y$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

軌跡を求める問題と領域を動く点に関する式の値の最大値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

円 $C$ に外接する点 $A:(a,b)$ が中心の円を $C_{1}$ とします。

円 $C$ の半径と円 $C_{1}$ の半径の和が $OA$ の長さになりますので、円 $C_{1}$ の半径を $x$ とおくと

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=x+1$

となります。したがって、 $x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-1$ となります。

円 $C$ が直線 $y=3$ に接する条件は

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}-1=3-b$

となります。この式を変形すると

$\displaystyle b=-\frac{1}{8}a^{2}+2$

となりますので、求める軌跡は放物線 $\displaystyle y=-\frac{1}{8}x^{2}+2$ となります。

最後の問題は $x+2y=k$ とおいて、点 $(x,y)$ が $y\leqq f(x)$ を満たす領域を動くときの $k$ の最大値を求めることです。

図に表すと以下のようになります。

青い部分が $y\leqq f(x)$ を満たす領域です。

赤い点線の直線が $x+2y$ を最大にするものですが、この値より $k$ の値が小さいと赤い点線より下側に、大きいと赤い点線より上側に来ます。

赤い点線は放物線 $\displaystyle y=-\frac{1}{8}x^{2}+2$ と接していますので、このようなものを求めます。

$x+2y=k$ の式を変形すると $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{k}{2}$ となります。

よって、赤い点線の接線を求めるためには、 $x$ の2次方程式

$\displaystyle -\frac{1}{2}x+\frac{k}{2}=-\frac{1}{8}x^{2}+2$

が重解を持つような $k$ の値を求めれば良いです。この方程式を整理すると

$x^{2}-4x+4k-16=0$

となりますので、この方程式の判別式を $D$ とすると

$D/4=20-4k$

となります。求めるべきことは $D=0$ となる $k$ の値ですので、それを求めると $k=5$ となります。

この値を方程式に代入して $x$ を求めると $x=2$ となりますので、 $\displaystyle y=\frac{3}{2}$ となります。

いかがだったでしょうか？

図形に関する問題は「図形と計量」「図形の性質」「図形と方程式」「ベクトル」の知識が引き出せるように訓練しておくことが重要かと思います。

今回の問題については、2つの円が外接しているときの半径の関係で「図形の性質」の知識が必要です。

「図形と方程式」の軌跡の問題はあまり出ませんが、今回のように出題される可能性がありますのでやっておいたほうがいいかもしれません。

今日まで東京都立大学の問題を扱いましたが、傾向は掴めましたでしょうか？受験される方はよく出題されている問題をチェックしてみてください。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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