マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2010年中高共通第4問】

2次関数教員採用試験の過去問

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今週は2010年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。中高共通第3問は以下の記事の2問目です。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の原文

関数 $f(x)=x^{2}-ax+1\ (-1\leqq x\leqq 1)$ の最小値を $m(a)$ とするとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。ただし、 $a$ は定数とする。

(1) $a\lt -2$ のとき、 $m(a)$ を求めなさい。

(2) $m(a)$ を最大にする $a$ の値とそのときの最大値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数の最小値の最大値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2次関数の式を平方完成すると $\displaystyle f(x)=\left( x-\frac{a}{2}\right) ^{2}-\frac{a^{2}}{4}+1$ となります。定義域と頂点の位置関係から、次のように場合分けをする必要があります。

(1) $\displaystyle \frac{a}{2}\lt -1$ すなわち $a\lt -2$ のとき

(2) $\displaystyle -1\leqq \frac{a}{2}\leqq 1$ すなわち $-2\leqq a\leqq 2$ のとき

(3) $\displaystyle \frac{a}{2}\gt 1$ すなわち $a\gt 2$ のとき

(1)のときは $m(a)=f(-1)$ となりますので $m(a)=a+2$ となります。

(2)のときは $\displaystyle m(a)=f\left( \frac{a}{2}\right) =-\frac{a^{2}}{4}+1$ 、(3)のときは $m(a)=f(1)=-a+2$ となります。 $m(a)$ のグラフは以下のようになります。

緑色は(1)のときの $m(a)$ 、青色は(2)のときの $m(a)$ 、赤色は(3)のときの $m(a)$ のグラフです。

グラフを見ると $a=0$ のとき最大値 $1$ をとることがわかります。

いかがだったでしょうか？

2次関数の係数に文字式が含まれる問題は模試でもよく問われる問題です。

特に今回のようなタイプの問題は教員採用試験だけでなく、教科書用の問題集や大学入試の問題でもよく見る問題です。

2次関数の単元では必ずおさえておきたい問題です。

　

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