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今週は教員採用試験の問題集に載っているチェックテストの問題です。
今回は数と式の問題です。
今回の問題の原文
1.を整数とする。2次方程式
の2つの解がともに整数となるように定数の値を定めよ。
2.およびを自然数とするとき、次の各問いに答えよ。
(1)不等式を満たす自然数の組の個数を求めよ。
(2)不等式を満たす自然数の組の個数をを用いて表せ。
(3)不等式を満たす自然数の組の個数をを用いて表せ。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
2次方程式の解の条件から係数を決定する問題と、不等式を満たす自然数の組の個数を求める問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
(1)2次方程式が2つの実数解を持つの値の範囲を求めてみます。判別式をとすると
となります。条件がですので、この不等式を解くととなります。したがって、求める整数はこの範囲にあります。
解と係数の関係から、2次方程式の解をとすると
となります。この2式の辺々を足すととなりますが、この式を変形すると
となります。が整数であることから
または
が成り立ちます。前者より、後者よりが出てきます。
(2)最初にを満たす自然数の組の個数を探してみます。具体的にの値を決めてやっていきます。のときはを満たす自然数の組は、が自然数ではありませんので、該当するものがありません。よってです。となる自然数の組はの1個だけですのでとなります。同じように自然数の組を挙げて数えていくと
を満たす組はの2個
を満たす組はの3個
を満たす組はの4個
となります。不等式を満たす自然数の組の個数は、これらを全て足したものですので、その個数は個です。
この考え方と同じように、不等式を満たす自然数の組を数えていくと、であることから
となります。このことを用いると、を満たす自然数の組の個数は、不等式をと変形しての値をからまでの場合を考えていけば、その個数は
となります。
いかがだったでしょうか?
教員採用試験の専門教養数学の問題は学習指導要領に関する問題と指導法の問題を除けば大学入試や高校入試で出題されるような問題が出ます。
難易度的には日東駒専・産近甲龍くらいのレベルかと思います。難しくてもGMARCH・関関同立くらいのレベル〜地方国公立レベルかと思います。
最近の中学のワークの難易度が高い問題にも教員採用試験に出題されそうな問題を見ることがあります。
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それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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