マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

教員採用試験問題集のチェックテスト【数と式】

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今週は教員採用試験の問題集に載っているチェックテストの問題です。

今回は数と式の問題です。

今回の問題の原文

1. mを整数とする。2次方程式

 x^{2}-(m+1)x-m+1=0

の2つの解がともに整数となるように定数 mの値を定めよ。

 

2. x,\ y,\ zおよび n自然数とするとき、次の各問いに答えよ。

(1)不等式 x+y\leqq 5を満たす自然数の組 (x,y)の個数を求めよ。

(2)不等式 x+y\leqq nを満たす自然数の組 (x,y)の個数を nを用いて表せ。

(3)不等式 x+y+z\leqq nを満たす自然数の組 (x,y,z)の個数を nを用いて表せ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2次方程式の解の条件から係数を決定する問題と、不等式を満たす自然数の組の個数を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)2次方程式が2つの実数解を持つ mの値の範囲を求めてみます。判別式を Dとすると

 D=m^{2}+6m-3

となります。条件が D\gt 0ですので、この不等式を解くと m\lt -3-2\sqrt{3},\ -3+2\sqrt{3}\lt mとなります。したがって、求める整数 mはこの範囲にあります。

解と係数の関係から、2次方程式の解を \alpha ,\ \beta (\alpha \leqq \beta )とすると

 \alpha +\beta =m+1,\ \alpha \beta =-m+1

となります。この2式の辺々を足すと \alpha +\beta +\alpha \beta =2となりますが、この式を変形すると

 (\alpha +1)(\beta +1)=3

となります。 \alpha ,\ \beta ,\ mが整数であることから

 \left\{ \begin{array}{ccc} \alpha +1&=&1\\ \beta +1&=&3\end{array}\right.または \left\{ \begin{array}{ccc} \alpha +1&=&-3\\ \beta +1&=&-1\end{array}\right.

が成り立ちます。前者より m=1、後者より m=-7が出てきます。

 

(2)最初に x+y=nを満たす自然数の組 (x,y)の個数を探してみます。具体的に nの値を決めてやっていきます。 n=1のときは x+y=1を満たす自然数の組は、 0自然数ではありませんので、該当するものがありません。よって a_{1}=0です。 x+y=2となる自然数の組は (1,1)の1個だけですので a_{2}=1となります。同じように自然数の組を挙げて数えていくと

 x+y=3を満たす組は (1,2),\ (2,1)の2個

 x+y=4を満たす組は (1,3),\ (2,2),\ (3,1)の3個

 x+y=5を満たす組は (1,4),\ (2,3),\ (3,2),\ (4,1)の4個

となります。不等式 x+y\leqq 5を満たす自然数の組の個数は、これらを全て足したものですので、その個数は 10個です。

この考え方と同じように、不等式 x+y\leqq nを満たす自然数の組を数えていくと、 a_{k}=k-1であることから

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k-1)=\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}n(n-1)

となります。このことを用いると、 x+y+z\leqq nを満たす自然数 (x,y,z)の組の個数は、不等式を x+y\leqq n-zと変形して zの値を 1から nまでの場合を考えていけば、その個数は

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}k(k-1)=\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)

となります。

いかがだったでしょうか?

教員採用試験の専門教養数学の問題は学習指導要領に関する問題と指導法の問題を除けば大学入試や高校入試で出題されるような問題が出ます。

難易度的には日東駒専産近甲龍くらいのレベルかと思います。難しくてもGMARCH関関同立くらいのレベル〜地方国公立レベルかと思います。

最近の中学のワークの難易度が高い問題にも教員採用試験に出題されそうな問題を見ることがあります。

数学を極めたい方はぜひ教員採用試験の専門教養の数学の問題にもチャレンジしてみてください。

大阪府や東京都、広島県のような一部自治体では教員採用試験の過去問をホームページで公表していますので、そこでは無料で問題を手に入れることができます。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

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