マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2019年前期日程第2問】s

三角関数入試問題

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今週は首都大学東京2019年・東京都立大学2020年の問題です。

今回は2019年文系学部前期日程第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角関数の最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

よく出題される三角関数についての最大・最小問題です。

元の問題にも誘導がついていますので、その通りに進めていくと答えに行き着くことができます。

$\displaystyle \sqrt{3}\sin{\theta }+\cos{\theta }=2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta }+\frac{1}{2}\cos{\theta }\right)$

$\displaystyle =2\left( \cos{\frac{\pi }{6}}\sin{\theta }+\sin{\frac{\pi }{6}}\cos{\theta }\right)$

$\displaystyle =2\sin{(\theta +\frac{\pi }{6})}$

ですので $\displaystyle x=2\sin{(\theta +\frac{\pi }{6})}$ となります。

$x$ の置き換えにより $x^{2}=-\cos{2\theta }+\sqrt{3}\sin{2\theta }+2$ となりますので、 $f(\theta )$ を $x$ で表すと

$f(\theta )=x^{2}-2\sqrt{2}x-2$

となります。関数が2次関数ですので、最大と最小は平方完成して求めます。

その前に $x$ のとりうる値の範囲を求めておく必要があります。

$0\leqq \theta \leqq 2\pi$ を動きますので $-2\leqq x\leqq 2$ です。

$x^{2}-2\sqrt{2}x-2=(x-\sqrt{2})^{2}-4$

ですので、 $f(\theta )$ は $x=\sqrt{2}$ すなわち $\displaystyle \theta =\frac{\pi }{12},\ \frac{7}{12}\pi$ のとき最小値 $-4$ 、 $x=-2$ すなわち $\displaystyle \theta =\frac{4}{3}\pi$ のとき最大値[4\sqrt{2}+2]をとります。

いかがだったでしょうか？

このタイプの問題はよく出題されますので要チェックです。

最近の問題では置き換え方が問題にも設定されていますので、解くのは楽かと思います。

三角関数の問題では合成ができるようにしておかないと、このような問題を解くのが難しくなるかもしれません。

　

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