マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2019年前期日程第3問】

場合の数と確率入試問題

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今週は2019年首都大学東京・2020年東京都立大学の問題です。

今回は2019年文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

さいころ投げの確率の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$r=0$ となるのは、 $A$ の点数が $0$ 点になるときです。

つまり

(1) $a \leqq b$

(2) $b$ が $a$ で割り切れる

の2つの条件を満たすことです。このような目の出方は

$(a,b)=(1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (1,4),\ (1,5)$

$\hspace{3em} (1,6),\ (2,2),\ (2,4),\ (2,6),\ (3,3)$

$\hspace{3em} (3,6),\ (4,4),\ (5,5),\ (6,6)$

の $14$ 通りありますので、求める確率は $\displaystyle \frac{14}{36}=\frac{7}{18}$ となります。

$rs=0$ となるのは $r=0$ または $s=0$ となるときです。

どちらかが $0$ 点以上の点数を獲得したとき、他方は $-1$ 点ですので、 $r=0$ かつ $s=0$ の状況は起こりません。

ということは、 $s=0$ となる場合の数さえ数えれば $rs=0$ となる確率が求められるということになります。

$s=0$ となる条件は

(1) $a\gt b$

(2) $a$ が $b$ で割り切れる

の2つともを満たすときですので、そのような目の出方は

$(a,b)=(2,1),\ (3,1),\ (4,1),\ (5,1),\ (6,1)$

$\hspace{3em} (4,2),\ (6,2),\ (6,3)$

の $8$ 通りあります。

したがって、 $rs=0$ となる確率は、先ほどの $r=0$ となる場合の数と合わせて $22$ 通りありますので $\displaystyle \frac{22}{36}=\frac{11}{18}$ となります。

最後に「 $n$ は $1$ から $6$ までの自然数で $r=n$ となる確率が正となるような $n$ の最大値」を求めるのですが、これは $A$ の点数( $r$ の値)を表にした方が早く求められます。

$A$ の点数表は以下のようになります。(縦の数が $a$ 、横の数が $b$ )

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&0&0&0&0&0&0\\ \hline 2&-1&0&1&0&1&0\\ \hline 3&-1&-1&0&1&2&0\\ \hline 4&-1&-1&-1&0&1&2\\ \hline 5&-1&-1&-1&-1&0&1\\ \hline 6&-1&-1&-1&-1&-1&0\\ \hline \end{array}$

この表に現れている $1$ 以上 $6$ 以下の自然数で最大のものは $2$ ですので、最後の解答は $2$ が正解となります。

いかがだったでしょうか？

入試問題の確率の問題は試行ルールを把握することが難しいところだと思います。

ルールを把握した上で樹形図や表を使って数え上げていく必要がありますので、大変な問題ばかりです。

慣れれば方針も見えてきますので、演習を多くしておかなければいけない分野かな、と思います。

　

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