マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2014年中高共通第1問】

2次関数教員採用試験の過去問

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今週は2014年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

実数 $x,y$ が $x^{2}+y^{2}=9$ を満たすとき、 $x^{2}-y^{2}+4x$ の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの $x,y$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件を満たす2次関数の最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

順を追って考えていきます。

条件式から文字を1文字消去する

$x^{2}-y^{2}+4x$ の最大値と最小値を求めるのですが、条件式が2次式になりますので、 $y$ を消去したほうが扱いやすいです。条件式から $y^{2}=9-x^{2}$ ですので、これを $x^{2}-y^{2}+4x$ に代入すると

$\begin{eqnarray*} x^{2}-y^{2}+4x&=&x^{2}-(9-x^{2})+4x\\ &=&2x^{2}+4x-9\\ &=&2(x+1)^{2}-11\end{eqnarray*}$

となります。

$x$ の取り得る値の範囲を確認する

条件式から $y^{2}=9-x^{2}$ となりますが、 $y^{2}\geqq 0$ であることに注意が必要です。このことから $9-x^{2}\geqq 0$ となりますので、この2次不等式を解くと $-3\leqq x\leqq 3$ となります。

$x^{2}-y^{2}+4x$ の最大値と最小値を求める

$x$ の取り得る範囲がわかりましたので、 $x^{2}-y^{2}+4x$ の最大値と最小値を求めることができます。先ほどのように平方完成をしておくと、すぐに最大値と最小値を求めることができます。最小値は $x=-1,y=\pm 2\sqrt{2}$ のとき $-11$ 、最大値は $x=3,y=0$ のとき $21$ であることがわかります。

いかがだったでしょうか？

条件式から2次関数に帰着させる問題でした。

チャート式などの問題集では必ず扱われている問題ですので、解けておきたい問題ではあります。

扱う文字は極力少なくすることがポイントです。

　

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