徳島県教員採用試験の問題【2019年中高共通第2問】

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今回の問題

今週は2019年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問です。

今回の問題の原文（記述式）

関数 $y=\sin{2\theta }-2\sin{\theta }-2\cos{\theta }-1$ …①について、次の(1)～(3)の問いに答えなさい。

(1) $x=\sin{\theta }+\cos{\theta }$ とおくとき、①について、 $y$ を $x$ の式で表しなさい。

(2) $0\leqq \theta \lt 2\pi$ のとき、 $x$ の値の範囲を求めなさい。

(3) $y$ の最大値と最小値、またその時の $\theta$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数の最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回の問題に関しては、解き方が誘導されていますので易しい問題かと思います。解く方針も問題の原文の順番通りになります。

$y$ を $x$ の式で表す

$y$ の式を見渡すと $\sin{2\theta }$ を $x$ で表すことが難しそうです。ここは倍角の公式

$\sin{2\theta }=2\sin{\theta }\cos{\theta }$

と三角関数の相互関係

$\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$

であることを用いて $\sin{2\theta }$ を $x$ で表します。 $x=\sin{\theta }+\cos{\theta }$ の両辺を2乗すると

$x^{2}=\sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }$

となります。ここで倍角の公式と三角関数の相互関係を使うと

$x^{2}=1+\sin{2\theta }$

となりますので、 $\sin{2\theta }=x^{2}-1$ となります。したがって、 $y$ を $x$ の式で表すと

$y=x^{2}-2x-2$

となります。

$\theta$ の範囲から $x$ の値の範囲を求める

$x=\sin{\theta }+\cos{\theta }$ の形のままでは値の範囲が求めづらいので、三角関数の合成

$\displaystyle a\sin{\theta }+b\cos{\theta }=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin{(\theta +\alpha )}\\ \displaystyle \left( \sin{\alpha }=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\ \cos{\alpha }=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)$

を用いて変形します。そうすると $\displaystyle x=\sin{\left( \theta +\frac{\pi }{4}\right) }$ となります。 $0\leqq \theta \lt 2\pi$ のとき $\displaystyle -1\leqq \sin{\left( \theta +\frac{\pi }{4}\right) \}\leqq 1$ ですので $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ であることがわかります。

$y$ の最大値と最小値を求める

$y=x^{2}-2x-2$ ですので、 $y$ は $x$ の2次関数になっています。ですので、平方完成をして $y=(x-1)^{2}-3$ としておきます。これにより $x=1$ のとき最小値 $-3$ をとり、 $x=-\sqrt{2}$ のとき最大値 $2\sqrt{2}$ をとることがわかります。それぞれのときの $\theta$ 値を求めれば、この問題は終わりです。