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今週は2014年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。
今回は中高共通第2問です。
今回の問題の原文
不定方程式の整数解の1組が
であることを用いて、不定方程式
の整数解をすべて求めなさい。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
不定方程式の問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
不定方程式の問題は手順通りにやっていけば解くことができます。
整数解を1つ見つける
不定方程式の整数解の1つが
であることがヒントです。不定方程式
の整数解の1つは、先ほどの与えられているヒントの4倍をすれば得られますので、
が不定方程式
の整数解の1つとなります。
不定方程式を解いていく
不定方程式の整数解を1つ見つけましたので、ここから不定方程式を解いていきます。得られている式は
の2つです。を考えると
という式が得られます。この式を変形すると
となります。と
は互いに素ですので、
を整数とすると
と表すことができますので、が不定方程式
の整数解となります。
いかがだったでしょうか？
不定方程式の基本的な解き方が理解できていれば解ける問題でした。
整数の性質に関する問題では出題される可能性が高いので、解けておきたい問題です。
学習指導要領が変わってからの教科書では軽く扱われているように思います。なので、大学入試で出題されるか微妙な気がします。
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