マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2010年中高共通第6問】

三角関数教員採用試験の過去問

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今週は2010年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文

$f(\theta )=2\cos{3\theta }-1$ について、次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

(1) $f(100^{\circ })$ および $f(140^{\circ })$ の値を求めなさい。

(2) $\cos{\theta }=x$ とおいて、 $f(/theta )$ を $x$ の式で表しなさい。

(3) $\cos{20^{\circ }}\cdot \cos{100^{\circ }}\cdot \cos{140^{\cric }}$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角関数の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\cos{300^{\circ }}=\cos{60^{\circ }}$ 、 $\cos{420^{\circ }}=\cos{60^{\circ }}$ であることに注意すると $f(100^{\circ })=0,\ f(140^{\circ })=0$ となります。また、 $f(20^{\circ })=0$ です。

$\cos{3\theta }=4\cos^{3}{\theta }-3\cos{\theta }$ であることから、 $f(/theta )$ を $x$ で表すと

$f(/theta )=8x^{3}-6x-1$

となります。

$f(20^{\circ })=f(100^{\circ })=f(140^{\circ })=0$ であることから、 $\cos{20^{\circ }}$ と $\cos{100^{\circ }}$ と $\cos{140^{\circ }}$ は $x$ の3次方程式 $8x^{3}-6x-1=0$ の解となります。解と係数の関係から $\displaystyle \cos{20^{\circ }}\cdot \cos{100^{\circ }}\cdot \cos{140^{\cric }}=-\frac{1}{8}$ となります。

いかがだったでしょうか？

今回の三角関数の問題は3倍角の公式が必要でした。

覚えていない場合は $\cos{3\theta }=\cos{(2\theta +\theta )}$ と考えて加法定理を使えば導くことができます。

最後の $\cos{20^{\circ }}\cdot \cos{100^{\circ }}\cdot \cos{140^{\cric }}$ の値は3次方程式の解と係数の関係を用いて求めますが、前半の問題の出題意図が見えてないと難しいかもしれません。

　

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