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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
今週は教員採用試験で出題された数と式・整数に関する問題です。
今回は教員採用試験頻出問題です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
対称式に関する連立方程式です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
対称式をうまく操れるかどうかがポイントになります。
対称式というのは、どの文字を入れ替えても値が変わらない式のことで、例えばや
、
が対称式です。
このうちのと
を基本対称式といい、全ての対称式は基本対称式で表すことができることが知られています。
今回の連立方程式の場合は
のように基本対称式で表すことができます。
見通しを良くするためにとおくと、連立方程式は
となります。未知数について解けば良いのですが、2式でどの文字についても次数が異なりますので、加減法は使えません。
ですので、代入法によって後者の式をとして前者の式に代入して連立方程式の解を求めます。
そうすると、という解が出てきます。
と
は
の2次方程式
の実数解になりますが、この方程式の判別式をDとすると、2次方程式が実数解を持つ条件はです。
この条件によれば、を満たさなければいけません。
出てきた解のうちがこの条件を満たしませんので、この解だけ答えの候補から外します。
あとはと
に条件を満たすものを代入して2次方程式を解けば
と
の値が求めることができるというわけです。
連立方程式で与えられている式は対称式なので、2次方程式が異なる2つの実数解が出れば、の組は2つ出ることになります。
いかがだったでしょうか？
対称式が基本対称式で表すことができるということを知っていれば方針を立てることはそこまで難しくはないです。
連立方程式も代入法の解き方を覚えていたら解けるはずです。
が、塾で教えているのを見るとほとんどの人が加減法で解いているようですね。
今回みたいな問題に出くわさなければどうにかなりそうですが…。
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
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