マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2009年前期日程第4問】

数と式入試問題

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今週は首都大学東京2009年・2010年の問題です。

今回は2009年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

方程式に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)絶対値が含まれている場合は必ず場合分けを行います。

絶対値記号の中身が $x^{2}-3$ ですので、これが正のときと負のときに分けて場合分けをします。

$x^{2}-3\geqq 0$ すなわち $x\leqq -\sqrt{3},\ \sqrt{3}\leqq x$ のとき、方程式は

$x^{2}-3=x^{2}-3x-2$

となります。この方程式を解くと $\displaystyle x=\frac{1}{3}$ となりますが、これは条件を満たしません。

$x^{2}-3\gt 0$ すなわち $-\sqrt{3}\lt x\lt \sqrt{3}$ のとき、方程式は

$-x^{2}+3=x^{2}-3x-2$

となります。この方程式を解くと $\displaystyle x=-1,\ \frac{5}{2}$ となりますが、このうち条件を満たすものは $x=-1$ です。

(2)今回の場合は数値を代入して求める方法が良さそうです。

$(\sqrt{2}-i)^{4}=-7-4\sqrt{2}i$

$(\sqrt{2}-i)^{2}=1-2\sqrt{2}i$

となりますので、 $x$ の方程式 $x^{4}+ax^{2}+b=0$ の解が $x=\sqrt{2}-i$ であることから

$(a+b-7)+(-4-2a)\sqrt{2}i=0$

が成り立ちます。複素数が等しいということは、それらの複素数の実部と虚部が一致するということですので、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+b-7&=&0\\ -4-2a&=&0\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $a=-2,\ b=9$ となります。

いかがだったでしょうか？

絶対値が含まれている場合は問題がむずかしくかんじるかもしれませんが、きちんと場合分けをすれば難しいことはありません。

場合分けを行った後は方程式や不等式であればいつも通り解いて、場合分けをした条件に合うかどうかを確認すれば良いだけです。

関数の分野でも絶対値記号が出てきますので、取り扱いには慣れておきたいところです。

　

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