首都大学東京の問題【2009年前期日程第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は首都大学東京2009年・2010年の問題です。

今回は2009年文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角形に垂直なベクトルを求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

点が座標で与えられている場合はベクトルを成分表示した方が楽なことが多いです。

今回に問題においても点が座標で与えられていますので、ベクトルは成分表示して答えます。

点 $H$ は2点 $B,\ C$ を通る直線上にありますので、 $t$ を実数とすると

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{BC}$

と表すことができます。

$\overrightarrow{BC}=(1,0,-1)$ 、 $\overrightarrow{OB}=(0,1,1)$ ですので

$\overrightarrow{AH}=(t-1,-1,-2-t)$

となります。 $\overrightarrow{AH}$ と $\overrightarrow{BC}$ が垂直なので、これらのベクトルの内積の値は $0$ になります。

$\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=(t-1)-(-2-t)=2t+1=0$

ですので、 $\displaystyle t=-\frac{1}{2}$ となります。したがって

$\displaystyle \overrightarrow{AH}=\left( -\frac{3}{2},-1,-\frac{3}{2}\right)$

となります。

$\triangle ABC$ の面積は

$\overrightarrow{BA}=(1,1,2),\ \overrightarrow{BC}=(1,0,-1)$

であることより、 $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{6},\ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2},\ \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-1$

であることから $\displaystyle \cos{\angle ABC}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$ ですので、三角関数の相互関係より $\displaystyle \sin{\angle ABC}=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{33}}{6}$ となります。

したがって、 $\displaystyle S=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{6}\times \frac{\sqrt{33}}{6}=\frac{\sqrt{11}}{2}$ となります。

ベクトルの大きさが $S$ で $\triangle ABC$ に垂直なベクトルの成分表示を $\overrightarrow{h}=(a,b,c)$ とすると、次の条件を満たします。

$\overrightarrow{h}\perp \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{h}\perp \overrightarrow{BC},\ |\overrightarrow{h}|=S$

これらの条件を $a,b,c$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{array}{ccc}a-c&=&0\\ a+b+2c&=&0\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&\displaystyle \frac{11}{4}\end{array}\right.$

となります。この連立方程式を解くと $\displaystyle (a,b,c)= \left( \pm \frac{1}{2},\mp \frac{3}{2},\pm \frac{1}{2}\right)$ (複合同順)となります。

いかがだったでしょうか？

直線のベクトル方程式の基本を問う問題だったかと思います。

ベクトルの問題は計算の基本さえおさえておけば難なく解くことができます。

ですので、ベクトルの一番最初に習う計算方法はしっかりと身につけておく方が良いです。

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