マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2018年2日目第3問】

図形と方程式入試問題

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今週は東京女子大学2018年の問題です。

今回は文系学部2日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

折れ線の長さの最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

直線 $y=2x+1$ に関して点 $B$ と対称な点を $C$ としますと、直線 $y=2x+1$ が線分 $BC$ の垂直二等分線になります。

したがって、次の条件が成り立ちます。

・直線 $BC$ と直線 $y=2x+1$ が垂直に交わる

・点 $B$ と直線 $y=2x+1$ との距離と点 $C$ と直線 $y=2x+1$ との距離が等しい

点 $C$ の座標を $(p,q)$ とおきます。

直線 $BC$ の傾きは $\displaystyle \frac{q+2}{p-1}$ です。

直線 $BC$ と直線 $y=2x+1$ は垂直に交わりますので、 $\displaystyle 2\cdot \frac{q+2}{p-1}=-1…①$ が成り立ちます。

点 $B$ と直線 $y=2x+1$ との距離は $\displaystyle \frac{|2+2+1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{5}$

点 $C$ と直線 $y=2x+1$ との距離は $\displaystyle \frac{|2p-q+1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|2p-q+1|}{\sqrt{5}}$

したがって $|2p-q+1|=5…②$ が成り立ちます。

式①と式②の連立方程式を解くと $(p,q)=(1,-2),\ (-3,0)$ が得られますが、前者は点 $B$ の座標です。

よって $C$ の座標は $(-3,0)$ となります。

折れ線 $AP+PB$ の最小値は、線分 $AC$ の長さに等しいので、点 $A$ と点 $C$ の2点間の距離を求めて $2\sqrt{13}$ となります。

$AP+PB$ が最小になる状況を図で表すと下の図のようになります。（赤い直線は $y=2x+1$ 、青い折れ線が $AP+PB$ ）

いかがだったでしょうか？

折れ線の問題はよく目にします。

入試問題だけでなく、数学系の読み物でもよく目にします。

このタイプの問題の解き方はぜひ身に付けておきたいですね。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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