徳島県教員採用試験の問題【2015年中高共通第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2015年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問です。

今回の問題の原文

点 $A(3,4,1)$ と球 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=4$ 上の点 $P$ がある。線分 $AP$ の最小値を求めなさい。また、そのときの点 $P$ の座標を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

座標空間内の球に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

球の外部の点と球上の点を結んだ線分の最小値を考えますが、それがどこにあるのかを考えてみます。

球の中心を用いて $AP$ の長さを考える

球 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=4$ の中心を $C$ とすると、 $C$ の座標は $(1,1,0)$ になります。したがって、線分 $AC$ の長さは $\sqrt{(1-3)^{2}+(1-4)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{14}$ となります。線分 $AP$ の長さが最小となるのは、点 $P$ が線分 $AC$ にあるときなので、その長さは、線分 $AC$ の長さから球の半径を引いて $\sqrt{14}-2$ となります。

点 $P$ の座標を求める

直線 $AC$ を媒介変数を用いて表してみます。 $\overrightarrow{AC}=(-2,-3,-1)$ ですので、直線 $AC$ は媒介変数 $t$ を用いて表すと、点 $C(1,1,0)$ を通ることから

$\left\{ \begin{array}{ccc} x&=&1-2t\\ y&=&1-3t\\ z&=&-t\end{array}\right.$

となります。点 $P$ の位置は球 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=4$ 上にありますので、この球の式に先ほどの媒介変数で表された式を代入すると

$4t^{2}+9t^{2}+t^{2}=4$

この $t$ についての方程式を解くと $\displaystyle t=\pm \frac{\sqrt{14}}{7}$ となりますが、点 $P$ は点 $A$ に近い方にありますので $\displaystyle t=-\frac{\sqrt{14}}{7}$ となります。よって、点 $P$ の座標は、先ほどの媒介変数で表された式に $\displaystyle t=-\frac{\sqrt{14}}{7}$ を代入して