徳島県教員採用試験の問題【2015年中高共通第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2015年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

自然数 $A$ を素因数分解したところ $A=2\times 3^{2}\times a^{2}$ となり、 $A$ の約数の総和は $5187$ となった。素数 $a$ を求めなさい。

難易度は☆☆☆です。

素因数分解に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

素因数分解と約数の総和が与えられているので、これらをヒントに問題を解いていきます。

自然数 $A$ が $A=2\times 3^{2}\times a^{2}$ と素因数分解できますので、自然数 $A$ の約数の総和は

$(1+2)(1+3+3^{2})(1+a+a^{2})$

となります。自然数 $A$ の約数の総和が $5187$ ですので

$(1+2)(1+3+3^{2})(1+a+a^{2})=5187$

という方程式が成り立ちます。この方程式を解いていくと

$\begin{eqnarray*} 3\times 13(a^{2}+a+1)&=&5187\\ a^{2}+a+1&=&133\\ a^{2}+a-132&=&0\\ (a+12)(a-11)&=&0\end{eqnarray*}$

$a$ は正の整数でかつ素数ですので $a=11$ となります。

例えば、自然数 $N$ が $N=a^{l}\times b^{m}\times c^{n}$ と素因数分解できるとき、自然数 $N$ の約数の総和は

$(1+a+a^{2}+\cdots +a^{l})(1+b+b^{2}+\cdots b^{m})(1+c+c^{2}+\cdots +c^{n})$

となります。これを知っておくとすぐに解くことができる問題でした。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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