マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2018年中高共通第3問】

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

目次

今回の問題
今回の問題の原文(記述式)
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2018年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文(記述式)

方程式 4x-9y=1…①について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)方程式①の整数解をすべて求めなさい。

(2) xは①を満たす3桁の自然数とし、その中で最小となる xの値を Nとする。

 N!=2^{p}\times L Lは奇数)

を満たす自然数 pの値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

不定方程式と素因数分解に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

不定方程式を解く

不定方程式を解く手順は

(1)方程式を満たす整数解を1つ見つける。(それを (x,y)=(n,m)とする。)

(2) a(x-n)+b(y-m)=0であることを使って整数解を求める。

です。具体的に不定方程式 4x-9y=1を解いてみます。この方程式の整数解の1つが (x,y)=(-2,-1)ですので

 4(x+2)-9(y+1)=0

となります。この式を変形すると

 4(x+2)=9(y+1)

となります。4と9は互いに素ですので、 kを整数とすると

 x+2=9k,\ y+1=4k

であると考えられます。これらの式を変形して

 x=9k-2,\ y=4k-1

となりますが、これが不定方程式の整数解全てになります。

条件に合うものを取り出す

不定方程式 4x-9y=1を満たす xのうち3桁の自然数で最小のものを求めます。先ほど x=9k-2と出ましたので、これを用いて探してみます。

 9k-2\geqq 100

を満たす kを探せば良いのですが、この不等式を解くと \displaystyle k\geqq \frac{34}{3}となります。 kは整数ですので、この不等式を満たす一番小さい整数は k=12となります。したがって、 N=9\times 12-2=106となります。

次に求めるのは 106!=2^{p}\times Lを満たす自然数 pの値です。これは1から106までの自然数の中に

 2=2^{1}の倍数が何個あるか→53個

 4=2^{2}の倍数が何個あるか→26個

 8=2^{3}の倍数が何個あるか→13個

 16=2^{4}の倍数が何個あるか→6個

 32=2^{5}の倍数が何個あるか→3個

 64=2^{6}の倍数が何個あるか→1個

を数えれば良いです。これらの倍数の個数の和が pの値になります。上の箇条書きのところでわざと 2^{k}の形でかきましたが、 2^{k}の倍数を数えるときに[tex; 2^{k+1}]以降の倍数を1回カウントしていることに注意します。ですので

 p=53+26+13+6+3+1=102

となります。

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

前半部は不定方程式を解く問題でしたが、基礎的な問題でした。

後半部は 106!の中に素因数 2が何個あるかを数え上げる問題でしたが、ここでは少し工夫がいる問題でした。

数学における工夫は経験を重ねていかないと身につきませんので、たくさん問題と出会ってください。

 

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