徳島県教員採用試験の問題【2016年中高共通第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は2016年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文

2次方程式 $x^{2}+x+1=0$ の2つの解を $\alpha ,\ \beta$ とする。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)2数 $\alpha+2$ 、 $\beta +2$ を解とする2次方程式を作りなさい。

(2) $n$ を自然数とする。 $\displaystyle \frac{1}{(\alpha ^{n}+1)(\beta ^{n}+1)}$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2次方程式の解と係数の関係を用いる問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

直接2次方程式を解いて $\alpha$ と $\beta$ の値を求めてから進めるのも良いですが、そうすると計算が大変です。そこで用いるのが2次方程式の解と係数の関係です。

2次方程式の解と係数の関係

$x$ の2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解を $\alpha ,\ \beta$ とすると、因数定理より、この方程式の左辺は

$ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$

と因数分解ができます。この右辺を展開してみると

$ax^{2}+bx+c=ax^{2}-a(\alpha +\beta )x+a\alpha \beta$

となります。この等式は $x$ についての恒等式ですので、両辺の係数を比較すると

$\displaystyle b=-a(\alpha +\beta ),\ c=a\alpha \beta$

となります。これらの式を変形すると

$\displaystyle \alpha +\beta =-\frac{b}{a},\ \alpha \beta =\frac{c}{a}$

となります。これが2次方程式の解と係数の関係です。

$\alpha +2$ と $\beta +2$ を解にもつ2次方程式を作る

$x^{2}+x+1=0$ の解を $\alpha ,\ \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha +\beta =-1,\ \alpha \beta =1$

となります。 $\alpha +2$ と $\beta +2$ を解にもつ2次方程式は、この解と係数の関係を反対に使ってやればいいので、 $(\alpha +2)+(\beta +2)$ の値と $(\alpha +2)(\beta +2)$ の値をそれぞれ求めると2次方程式を作ることができます。

$\begin{eqnarray*}(\alpha +2)+(\beta +2)&=&\alpha +\beta +4\\ &=&-1+4\\ &=&3\\ (\alpha +2)(\beta +2)&=&\alpha \beta +2(\alpha +\beta )+4\\ &=&1-2+4\\ &=&3\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\alpha +2$ と $\beta +2$ を解に持つ2次方程式は $x^{2}-3x+3=0$ ということになります。

$\displaystyle \frac{1}{(\alpha ^{n}+1)(\beta +1)}$ の値を求める

$\alpha ^{n}$ と $\beta ^{n}$ の値を求めるのが厄介です。2次方程式を変形すると $x^{2}=-x-1$ であることに注意して $\alpha ^{3}$ の値を求めてみると

$\begin{eqnarray*} \alpha ^{3}&=&\alpha \times \alpha ^{2}\\ &=&\alpha (-\alpha -1)\\ &=&-\alpha ^{2}-\alpha \\ &=&-(-\alpha -1)-\alpha \\ &=&\alpha +1-\alpha \\ &=&1\end{eqnarray*}$

となります。全く同じように $\beta =1$ です。したがって、 $k$ を整数とすると

$\alpha ^{3k}=1,\ \alpha =^{3k+1}=\alpha ,\ \alpha ^{3k+2}=\alpha ^{2}$

であることがわかります。 $\beta$ についても同様です。よって、自然数 $n$ が $n=3k$ のとき、 $n=3k+1$ のとき、 $n=3k+2$ のときに場合分けをして求めていく必要があります。

$n=3k$ のとき、 $\displaystyle \frac{1}{(\alpha ^{n}+1)(\beta ^{n}+1)}=\frac{1}{(1+1)(1+1)}=\frac{1}{4}$

$n=3k+1$ のとき

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\alpha ^{n}+1)(\beta ^{n}+1)}&=&\frac{1}{(\alpha +1)(\beta +1)}\\ &=&\frac{1}{\alpha \beta +(\alpha +\beta )+1}\\ &=&\frac{1}{1-1+1}\\ &=&1\end{eqnarray*}$

$n=3k+2$ のとき

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\alpha +1)(\beta +1)}&=&\frac{1}{(\alpha ^{2}+1)(\beta ^{2}+1)}\\ &=&\frac{1}{(-\alpha -1+1)(-\beta -1+1)}\\ &=&\frac{1}{(-\alpha )(-\beta )}\\ &=&\frac{1}{\alpha \beta }\\ &=&1\end{eqnarray*}$