マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2017年前期日程第1問】

数と式入試問題

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今週は首都大学東京2017年・2018年の問題です。

今回は2017年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

解が三角関数で表される場合の方程式に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2次方程式の解と係数の関係より

$\displaystyle (\sin{\theta }+2\cos{\theta })+(2\sin{\theta }+\cos{\theta })=\frac{12}{8}k$

したがって、 $\displaystyle \sin{\theta }+\cos{\theta }=\frac{1}{2}k$

$\displaystyle (\sin{\theta }+2\cos{\theta })(2\sin{\theta }+\cos{\theta })=\frac{3}{8}k^{2}-1$

したがって、 $\displaystyle \sin{\theta }\cos{\theta }=\frac{3}{40}k^{2}-\frac{1}{5}$ となります。

$\sin{\theta }+\cos{\theta }$ の値から

$\displaystyle (\sin{\theta }+\cos{\theta })^{2}=\frac{1}{4}k^{2}$

$\displaystyle 1+2\sin{\theta }\cos{\theta }=\frac{1}{4}k^{2}$

$\displaystyle 1+\frac{3}{40}k^{2}-\frac{1}{5}=\frac{1}{4}k^{2}$

$\displaystyle \frac{1}{10}k^{2}=\frac{3}{5}$

よって $k\gt 0$ から $k=\sqrt{6}$ となります。このとき

$\displaystyle \sin{\theta }+\cos{\theta }=\frac{\sqrt{6}}{2},\ \sin{\theta }\cos{\theta }=\frac{1}{4}$

となりますので、解と係数の関係より $\sin{\theta }$ と $\cos{\theta }$ は $t$ の2次方程式

$4t^{2}-2\sqrt{6}t+1=0$

の解となります。この方程式を解くと $\displaystyle t=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$ となりますが、 $0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{4}$ から $\sin{\theta }\leqq \cos{\theta }$ より $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ となります。

いかがだったでしょうか？

解と係数の関係が中心の問題でした。

解に三角関数が含まれていますが、解と係数の関係を使うときは気にせずに使っていきます。

そうすると $k$ の値までは求めることはできます。

$\sin{\theta }$ と $\cos{\theta }$ の値は、 $\sin{\theta }+\cos{\theta }$ と $\sin{\theta }\cos{\theta }$ の値から2次方程式を作り、それを解きます。

いずれも基礎問題です。教科書用の問題集にも載っているような問題ですので、復習するのも良いかもしれません。

　

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