徳島県教員採用試験の問題【2016年中高共通第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2016年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問です。

今回の問題の原文

1から8までの番号をつけた8枚のカードがある。今赤から2枚同時に取り出し、取り出されたカードの番号を $X,\ Y\ (X\lt Y)$ とする。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $Y\gt X^{2}$ である確率を求めなさい。

(2) $X+Y$ が偶数である確率を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

カードに関する確率の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

確率は考えられるすべての場合の数を $n$ 、条件を満たす場合の数を $a$ とすると $\displaystyle \frac{a}{n}$ で求めますので、考えられるすべての場合の数と条件を満たす場合の数を求めることが基本的な方針です。

すべてのカードの取り出し方を考える

8枚のカードの中から2枚選ぶ組み合わせになりますので $_{8}C_{2}=28$ 通りになります。

条件を満たす場合の数を求める

今回の「条件を満たす場合の数」というのは、 $Y\gt X^{2}$ となる場合の数と $X+Y$ が偶数になる場合の数です。全体の場合の数がそれほど多くありませんので、今回は全部調べて数え上げを行ってみようと思います。そのほうが2つ同時に確率が求められて楽です。次のような表を作るとわかりやすいと思います。

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline (X,Y)&X^{2}&X+Y&Y\lt X^{2}&X+Y=2n\\ \hline (1.2)&1&3&\circ &\times \\ \hline (1,3)&1&4&\circ &\circ \\ \hline (1,4)&1&5&\circ &\times \\ \hline (1,5)&1&6&\circ &\circ \\ \hline (1,6)&1&7&\circ &\times \\ \hline (1,7)&1&8&\circ &\circ \\ \hline (1,8)&1&9&\circ &\times \\ \hline (2,3)&4&5&\times &\times \\ \hline (2,4)&4&6&\times &\circ \\ \hline (2,5)&4&7&\circ &\times \\ \hline (2,6)&4&8&\circ &\circ \\ \hline (2,7)&4&9&\circ &\times \\ \hline (2,8)&4&10&\circ &\circ \\ \hline (3,4)&9&7&\times &\times \\ \hline (3,5)&9&8&\times &\circ \\ \hline (3,6)&9&9&\times &\times \\ \hline (3,7)&9&10&\times &\circ \\ \hline (3,8)&9&11&\times &\times \\ \hline (4,5)&16&9&\times &\times \\ \hline (4,6)&16&10&\times &\circ \\ \hline (4,7)&16&11&\times &\times \\ \hline (4,8)&16&12&\times &\circ \\ \hline (5,6)&25&11&\times &\times \\ \hline (5,7)&25&12&\times &\circ \\ \hline (5,8)&25&13&\times &\times \\ \hline (6,7)&36&13&\times &\times \\ \hline (6,8)&36&14&\times &\circ \\ \hline (7,8)&49&15&\times &\times \\ \hline \end{array}\end{eqnarray*}$

条件を満たす場合の数は、上の表の $\circ$ の数を数えます。 $Y\gt X^{2}$ となる場合の数は $11$ 通りありますので、確率は $\displaystyle \frac{11}{28}$ 、 $X+Y$ が偶数となる場合の数は $12$ 通りありますので、確率は $\displaystyle \frac{12}{28}=\frac{3}{7}$ となります。