マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2014年前期日程第4問】

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今週は首都大学東京2013年と2014年の問題です。

今回は2014年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

確率と図形と方程式の融合問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

図を描いてみると方針が見えてくるかもしれませんので、まずは描いてみます。

 a bは適当に設定して「こんな感じかな?」と思うようなものを描いてみます。

ただし、あまりにも極端なものは避けて描くようにします。

問題文には「領域を図示せよ」とは書いていませんので、正確なものでなくても大丈夫です。

 a=3,\ b=2とした場合の図は以下のようになります。

青で塗っている部分の面積が Sとなります。

この青で塗ってある部分が円の全部ですと、 S=\pi b^{2}となります。

したがって、 \displaystyle S=\frac{\pi b^{2}}{2}となるのは青い部分が半円、つまり直線 \displaystyle y=-\frac{x}{2}+aが円の中心 (b,b)を通るときであると考えられます。

そのときの条件は \displaystyle b=-\frac{b}{2}+aを満たしますので \displaystyle a=\frac{3}{2}bとなります。

このような目の出方は

 (a,b)=(3,2),\ (6,4)

の2通りありますので、求める確率は \displaystyle \frac{2}{36}=\frac{1}{18}となります。

 S=0となる確率もそのような状況になる条件を求めてから確率を求めます。

領域のとり方から考えると、 S=0となる条件は

・直線 \displaystyle y=-\frac{x}{2}+aが円 (x-b)^{2}+(y-b)^{2}=bより上側にある

・円の中心と直線 \displaystyle y=-\frac{x}{2}+aとの距離が半径より大きい

の2つをともに満たすときです。

したがって、点と直線の距離の公式を用いると前者の条件から \displaystyle b\lt \frac{3}{2}b+aであることに注意して

 \displaystyle \frac{2a-3b}{\sqrt{5}}\gt bよって \displaystyle a\gt \frac{3+\sqrt{5}}{2}b

という条件が導かれます。

この条件を満たすようなさいころの出目は \displaystyle \frac{3}{2}\lt \frac{3+\sqrt{5}}{2}\lt 3であることに注意すると

 (a,b)=(3,1),\ (4,1),\ (5,1),\ (6,1),\ (6,2)

の5通りありますので、求める確率は \displaystyle \frac{5}{36}となります。

いかがだったでしょうか?

出目が満たすべき条件を炙り出すところが難しいのではないかと思います。

問題文にも誘導になるようなものが設定されていませんので、自分で考えて条件を求めていく必要があります。

ただ、条件さえ出ればあとは数え上げるだけですのでここまで来れば簡単かもしれません。

確率に関する問題はこのような問題も多く見かけますので、入試問題集などでこのような問題にあたってみるものいいかもしれませんね。

 

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