共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編【確率＋α】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編です。

今回は数学Ⅰ・数学Aのまとめ問題です。

今回の問題の原文

(1)さいころを2回振り、出た目を順に $a,\ b$ とする。2次関数 $y=x^{2}-ax+b$ を考えるとき、この2次関数のグラフと $x$ 軸が異なる2点で交わる確率と放物線の軸が直線 $x=2$ より右側にある確率をそれぞれ求めよ。

(2)さいころを2回振り、出た目を順に $a,\ b$ とする。 $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{\sqrt{a}}{b}$ を考えるとき、この式を満たす実数 $\theta$ が存在する確率を求めよ。

(3)さいころを3回振り、出た目を順に $a,\ b,\ c$ とする。 $100a+10b+c$ が偶数になる確率と3の倍数になる確率をそれぞれ求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

確率と他単元との融合問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)2次関数 $y=x^{2}-ax+b$ と $x$ 軸との交点が2つある条件は、 $x^{2}-ax+b=0$ の判別式を $D$ とすると $D=a^{2}-4b$ となります。条件は $D\gt 0$ ですので、 $a^{2}-4b\gt 0$ を満たす出目の組 $(a,b)$ を数え上げます。これが $17$ 通りあるので、求める確率は $\displaystyle \frac{17}{36}$ となります。

また、放物線の軸が直線 $x=2$ より右側にあるのは $a=5$ または $a=6$ のときですので、求める確率は $\displaystyle \frac{1}{3}$ となります。

(2) $-1\leqq \sin{\theta }\leqq 1$ を満たしているとき、実数 $\theta$ が存在します。ですので、 $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{\sqrt{a}}{b}$ を満たす $\theta$ が存在するには、 $a$ と $b$ が1から6までの自然数であることから $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{b}\leqq 1$ を満たす $(a,b)$ を数え上げます。これが $29$ 通りありますので、求める確率は $\displaystyle \frac{29}{36}$ となります。