マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

倉敷芸術科学大学の問題【2022年一般入試B日程第1問・第2問・第3問】

数と式場合の数と確率入試問題中学生でも解ける大学入試問題

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今週は八戸工業大学と倉敷芸術科学大学2022年一般入試の問題です。

今回は倉敷芸術科学大学2022年一般入試B日程第1問・第2問・第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

数学Ⅰ・数学A中心の問題です。頑張れば中学生でも解けそうな問題かもしれません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)今回の因数分解は文字が1種類しかありませんので、式を整理してから行います。

$(x+2)^{2}+2x+1=x^{2}+4x+4+2x+1$

$=x^{2}+6x+5$

$=(x+2)(x+3)$

(2) $4500$ を素因数分解すると $2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}$ となりますので、 $\displaystyle \frac{4500}{n}$ が100以上10000未満の平方数、つまり素因数分解したときにすべての素数に乗っている指数がすべて偶数になるような自然数 $n$ を探していきます。

$n=5$ のとき $\displaystyle \frac{4500}{n}=2^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}$

$n=20$ のとき $\displaystyle \frac{4500}{n}=3^{2}\times 5^{2}$

$n=45$ のとき $\displaystyle \frac{4500}{n}=2^{2}\times 5^{2}$

となり、これらの数の正の平方根は2桁の自然数になります。

なお、 $n=125$ のとき $\displaystyle \frac{4500}{n}=2^{2}\times 3^{2}$ で素因数分解したときの素数に乗っている指数がすべて偶数ですが、この数の正の平方根は6で2桁の自然数ではありませんので、この場合は候補から外します。

(3)5個の数字 $1,2,3,4,5$ から無作為に異なる3個の数字を選ぶ選び方は $_{5}P_{3}=60$ 通りあります。

3で割り切れる数の性質として「各位の数の和が3の倍数であればその数は3で割り切れる」というものがあります。

証明は以下の通りです。

$0$ 以上の整数 $k$ に対して $10^{k}$ の位の数を $a_{k}$ とおく。

このとき、 $k$ 桁の数は $\displaystyle \sum_{t=0}^{t}10^{k}a_{t}$ と表すことができる。

$\displaystyle \sum_{t=0}^{k}10^{t}a_{t}=\sum_{t=0}^{k}(10^{t}-1)a_{t}+\sum_{t=0}^{k}a_{t}$

ここで $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}10^{k-1}=\frac{10^{n}-1}{10-1}=\frac{10^{n}-1}{9}$ であることから

$10^{k}-1=9(1+10+10^{2}+\cdots 10^{k-1})$

したがって、 $10^{k}-1$ は9の倍数である。これを $9b_{k}$ とおくと $b_{k}$ は自然数である。

よって、

$\displaystyle \sum_{t=0}^{k}10^{t}a_{t}=\sum_{t=0}^{k}9b_{t}+\sum_{t=0}^{k}a_{t}$

各位の数の和が3の倍数であるとき、整数 $l$ を用いて $\displaystyle \sum_{t=0}^{k}a_{t}=3l$ と表すことができるので

$\displaystyle \sum_{t=0}^{k}10^{t}a_{t}=\sum_{t=0}^{k}9b_{t}+3l$

$\displaystyle =3\left( 3\sum_{t=0}^{k}b_{t}+l\right)$

$\displaystyle 3\sum_{t=0}^{k}b_{t}+l$ は整数なので $\displaystyle \sum_{t=0}^{k}10^{t}a_{t}$ は3の倍数である。

3で割り切れる数の性質から、作ることができる3桁の自然数のうち3の倍数となる数の組合せは $(1,2,3),\ (1,3,5),\ (2,3,4),\ (3,4,5)$ があり、これらの組合せの数でできる自然数はそれぞれ $3!=6$ 通りずつあります。

したがって、 $1,2,3,4,5$ の5個の数字から異なる3個を選んで3桁の自然数を作るとき、その数が3で割り切れる確率は $\displaystyle \frac{24}{60}=\frac{2}{5}$ となります。

いかがだったでしょうか？

最後の確率の問題は樹形図を書くのが大変ですが、時間をかければ中学生でも解けそうな問題です。

今回の問題も基礎問題となりますので、大学受験をされるのであれば必ず解けておけないといけない問題です。

　

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