マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2010年前期日程第1問】

場合の数と確率 入試問題
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今週は2009年・2010年首都大学東京の問題です。

今回は2010年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

さいころ投げの確率の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

さいころを同時に3個投げたときの目の出方は全部で 6^{3}=216通りあります。

今回に問題の場合の確率は、全事象の場合の数を n、求めたい事象の場合の数を aとするとき \frac{a}{n}求めます。

3個のさいころを投げたときの出る目の和を Sとするとき、 S=7となる確率は、出た目の和が 7となる場合の数を数え上げます。

3個のさいころを投げたときの出た目の和が 7となる組合せは以下のものがあります。

(1,1,5),\ (1,2,4),\ (1,3,3),\ (2,2,3)

確率を求める場合はさいころを区別して求めますので、数え上げる場合の数はこれらの順列の総数になります。

したがって、 S=7となる場合の数は全部で 15通りありますので、求める確率は \displaystyle \frac{15}{216}=\frac{5}{72}となります。

さいころを3個投げたときに出る目の和は 3から 18が考えられますので、 S\geqq 7となる確率を求めるには余事象の S\lt 7となる場合の数を数え上げる方が早く求めることができます。

S\lt 7となる場合の数は

・ S=6:(1,1,4),\ (1,2,3),\ (2,2,2)場合の数は 10通り

・ S=5:(1,1,3),\ (1,2,2)場合の数は 6通り

・ S=4:(1,1,2)場合の数は 3通り

・ S=3:(1,1,1)場合の数は 1通り

ですので、 S\lt 7となる場合の数は全部で 20通りあります。

よって、 S\lt 7となる確率は \displaystyle \frac{20}{216}=\frac{5}{54}ですので、 S\geqq 7となる確率は \displaystyle 1-\frac{5}{54}=\frac{49}{54}となります。

期待値を求めるには、すべての場合の確率を求めておく必要があります。

今回の場合は S\leqq 5または S\geqq 16の場合と 6\leqq S\leqq 15の場合の確率を求めなければいけませんが、一方が他方の余事象となっています。

ですので、求めるのが楽な S\leqq 5または S\geqq 16である確率を求めます。

S\leqq 5である場合の数は先ほど数え上げたものを使うと 10通りあります。

S\geqq 16である場合の数は S=16,\ 17,\ 18の場合をそれぞれ数え上げると全部で 10通りあります。

したがって、 S\leqq 5または S\geqq 16となる確率は \displaystyle \frac{5}{54}となります。

また、 6\leqq S\leqq 15となる確率は、先ほどの余事象の確率ですので \displaystyle \frac{49}{54}となります。

求める期待値は確率と賞金の積の和ですので

\displaystyle \frac{5}{54}\times 3000+\frac{49}{54}\times 300=550

ということになります。期待値を求めたら単位をつけ忘れないように注意してください。

いかがだったでしょうか？

現在は出題範囲から外れていますが、確率の問題と言えば期待値の問題と言っても良いくらいよく出題されていました。

2年後からは期待値の項目が数学Aに戻りますので、出題される可能性が出てきます。

2025年以降に大学を受験される方は要チェックな問題です。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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