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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!
今週は首都大学東京の2005年・2006年の問題です。
今回は2006年前期日程第1問です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
場合の数の数え上げの問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
を素因数分解するととなります。
約数の個数は、素因数分解してその素数に乗っている指数に注目して計算で求めます。
の場合はが個まで、が個まで使えると考えると、「素数を使わない」ということを入れることに注意して個がの約数の個数になります。
「自然数の2乗で表されない」ということは、同じ素数を奇数個使っているものがあれば良いので先ほど求めたの約数のうち
は除きます。また、偶数ですので、は最低1回は使わなければいけません。したがって
も除きます。除いた約数が8個ありますので、の約数のうち自然数の2乗で表されず偶数であるものは個です。
後半は集合の考え方を使うと解きやすいかと思います。
以上以下の自然数全体を「全体集合」として扱います。
必要になるものが「8の倍数であるもの」と「12で割って8余るもの」です。
「全体集合」の部分集合で「8の倍数であるもの」全体の集合を、「12で割って8余るもの」全体の集合をとすると
ですので、集合の要素の個数をと書くことにしますと、となります。
最後に必要となる個数は「8の倍数となるかまたは12で割って8余るもの」です。これを集合で表すとですので、求める個数は
となります。したがって、の個数が分かれば「8の倍数となるかまたは12で割って8余るもの」の個数を求めることができます。
は「8の倍数でかつ12で割ると8余るもの」の個数ですので、これが何個あるかを数えます。
となりますので、個となります。
よってとなります。
いかがだったでしょうか?
後半の数え上げが難しかったのではないでしょうか。
特にある数を割って余りが出るものの個数の数え方は学校ではあまりやりません。
ですが、入試問題ではこのようなことが求められます。
経験を積むか考えて工夫するかの2択でしょうが、経験を積むほうが効率的に良いと思いますので数多くの問題と出会う必要がありそうですね。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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