マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2006年前期日程第1問】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は首都大学東京の2005年・2006年の問題です。

今回は2006年前期日程第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

場合の数の数え上げの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 2000素因数分解すると 2000=2^{4}\times 5^{3}となります。

約数の個数は、素因数分解してその素数に乗っている指数に注目して計算で求めます。

 2000の場合は 2 4個まで、 5 3個まで使えると考えると、「素数を使わない」ということを入れることに注意して 5\times 4=20個が 2000の約数の個数になります。

自然数の2乗で表されない」ということは、同じ素数を奇数個使っているものがあれば良いので先ほど求めた 2000の約数のうち

 1,\ 4,\ 16,\ 25,\ 100,\ 400

は除きます。また、偶数ですので、 2は最低1回は使わなければいけません。したがって

 5,\ 125

も除きます。除いた約数が8個ありますので、 2000の約数のうち自然数の2乗で表されず偶数であるものは 20-8=12個です。

後半は集合の考え方を使うと解きやすいかと思います。

 2001以上 3000以下の自然数全体を「全体集合」として扱います。

必要になるものが「8の倍数であるもの」と「12で割って8余るもの」です。

「全体集合」の部分集合で「8の倍数であるもの」全体の集合を A、「12で割って8余るもの」全体の集合を Bとすると

 A=\{ 8\times 251,\ 8\times 252,\ 8\times 253,\ \cdots ,\ 8\times 375\}

 B=\{ 12\times 167+8,\ 12\times 168+8,\ 12\times 169+8,\ \cdots ,\ 12\times 249+8\}

ですので、集合 Xの要素の個数を n(X)と書くことにしますと、 n(A)=375-251+1=125,\ n(B)=249-167+1=83となります。

最後に必要となる個数は「8の倍数となるかまたは12で割って8余るもの」です。これを集合で表すと A\cup Bですので、求める個数は

 n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

となります。したがって、 n(A\cap B)の個数が分かれば「8の倍数となるかまたは12で割って8余るもの」の個数を求めることができます。

 n(A\cap B)は「8の倍数でかつ12で割ると8余るもの」の個数ですので、これが何個あるかを数えます。

 A\cap B=\{ 2024,\ 2048,\ 2072,\ 2096,\ \cdots ,\ 2984\}

 =\{ 12\times 168+8,\ 12\times 170+8,\ 12\times 172+8,\ 12\times 174+8,\ \cdots 12\times 248+8\}

 =\{ 24\times 84+8,\ 24\times 85+8,\ 24\times 86+8,\ 24\times 87+8,\ \cdots 24\times 124+8\}

となりますので、 n(A\cap B)=124-84+1=41個となります。

よって n(A\cup B)=125+83-41=167となります。

いかがだったでしょうか?

後半の数え上げが難しかったのではないでしょうか。

特にある数を割って余りが出るものの個数の数え方は学校ではあまりやりません。

ですが、入試問題ではこのようなことが求められます。

経験を積むか考えて工夫するかの2択でしょうが、経験を積むほうが効率的に良いと思いますので数多くの問題と出会う必要がありそうですね。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

Twitterで更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper