マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2007年中高共通第2問】

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今週は2007年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。

今回は中高共通問題の第2問です。

今回の問題の原文

5個の文字 A,B,C,D,Eを横1列に並べるとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) A Bと隣り合わない確率を求めなさい。

(2) A Bより左側にある確率を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

数え上げによって確率を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

確率を求める基本計算は、全事象の場合の数を n通り、対象となる事象の場合の数を a通りとするとき、対象となる事象が起こる確率は \displaystyle \frac{a}{n}であることを用いることです。

今回の問題もこの計算を使って求めていきます。

5個の文字を1列に並べる順列の総数は 5!=120通りです。これが全事象の場合の数です。

続いて、 A Bと隣り合わない場合の数を数えます。これは A Bが隣り合う場合の数を数えて、それを全体から引いたほうが早そうです。 A Bが隣り合う場合の数は、 A Bをひとかたまりとして扱って考えると、かたまりの中の並びも考慮して

 4!\times 2!=48

ということが得られます。したがって、 A Bが隣り合わない場合の数は、 120-48=72通りあります。したがって、 A Bが隣り合わない確率は \displaystyle \frac{72}{120}=\frac{3}{5}となります。

 A Bより左側にある場合の数は、一旦、並びのパターンをすべて考えてみます。並びのパターンは下の 10通りです。

 A B、□、□、□

 A、□、 B、□、□

 A、□、□、 B、□

 A、□、□、□、 B

□、 A B、□、□

□、 A、□、 B、□

□、 A、□、□、 B

□、□、 A B、□

□、□、 A、□、 B

□、□、□、 A B

□には C,D,Eのいずれかが入りますので、その並び方を考慮すると、それぞれのパターンに 3!=6通りあります。よって、 A Bより左側にある場合の数は 10\times 6=60通りありますので、確率は \displaystyle \frac{60}{120}=\frac{1}{2}となります。

いかがだったでしょうか?

丁寧に数え上げていけば難なく解ける問題でした。

数え上げる際は抜けなく、ダブりなく数え上げることが重要ですが、そこが一番難しいところだと思います。

数える順番を決めておくなどして抜けなく、ダブりなく数え上げる方法を確立することが最も良い方法かもしれません。

 

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