東京都立大学の問題【2021年前期日程第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京都立大学2021年・2022年の問題です。

今回は2021年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題の原文

$k$ を $-1\lt k\lt 3$ をみたす実数とする。放物線 $y=x^{2}$ と直線 $y=2x+k$ の交点を $P_{1},\ P_{2}$ とする。点 $P_{1},\ P_{2}$ から $x$ 軸に下した垂線と $x$ 軸との交点をそれぞれ $Q_{1},\ Q_{2}$ とする。以下の問いに答えなさい。

(1)線分 $Q_{1}Q_{2}$ の長さを $k$ を用いて表しなさい。

(2) $3$ 点 $P_{1},\ P_{2},\ P(1,5)$ を頂点とする三角形の面積 $S(k)$ を求めなさい。

(3) $\{ S(k)\} ^{2}$ が最大となる $k$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

放物線と直線の交点からできる三角形の面積の最大値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

曲線 $y=x^{2}$ と直線 $y=2x+k$ の交点の $x$ 座標は、 $x$ の方程式

$x^{2}=2x+k$ …①

の解になります。この方程式を解くと $x=1\pm \sqrt{1+k}$ となります。

線分 $Q_{1}Q_{2}$ の長さはこの解の差になりますので $Q_{1}Q_{2}=2\sqrt{1+k}$ になります。

$x$ の2次方程式を整理すると $x^{2}-2x-k=0$ となります。この方程式の解を $\alpha ,\ \beta$ とし、点 $P_{1}$ と $P_{2}$ の座標をそれぞれ $(\alpha ,\alpha ^{2}),\ (\beta ,\beta ^{2})$ とすると、2次方程式の解と係数の関係から

$\alpha +\beta =2,\ \alpha \beta =-k$

ですので、これを用いると

$P_{1}P_{2}=(\beta -\alpha )^{2}+(\beta ^{2}-\alpha ^{2})^{2}$

$=2\sqrt{5k+5}$

となります。また、 $P_{1}$ と $P_{2}$ は直線 $y=2x+k$ 上にあります。

点 $P(1,5)$ と直線 $y=2x+k$ との距離を $d$ とすると

$\displaystyle d=\frac{|2\times 1-5+k|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{3-k}{\sqrt{5}}$

となります。 $\triangle P_{1}P_{2}P$ の面積は、底辺を線分 $P_{1}P_{2}$ 、高さを $d$ として計算します。

$S(k)=(3-k)\sqrt{k+1}$

となりますので、 $\{ S(k)\} ^{2}=k^{3}-5k^{2}+3k+9$ となります。

この関数は3次関数ですので、 $k$ で微分して導関数を求めて増減を求めます。

$f(k)=k^{3}-5k^{2}+3k+9$ とおくと

$f^{\prime }(k)=3k^{2}-10k+3=(3k-1)(k-1)$

となりますので、 $f(k)$ の増減については以下のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline k&-1&\cdots &\displaystyle \frac{1}{3}&\cdots &3\\ \hline f^{\prime }(k)&\ &+&0&-&\ \\ \hline f(k)&0&\nearrow &\displaystyle \frac{256}{27}&\searrow &0\\ \hline \end{array}$