マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都立大学の問題【2021年前期日程第2問】

図形と計量・図形の性質入試問題

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今週は東京都立大学2021年・2022年の問題です。

今回は2021年文系学部前期日程第2問です。

今回の問題の原文

平面上に $AB=3,\ BC=7,\ CA=6$ となる $\triangle ABC$ を考える。 $\angle BAC$ の2等分線と辺 $BC$ の交点を $P$ とする。 $t$ を $0\lt t\lt 1$ をみたす実数とし、辺 $AB$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $Q$ とする。線分 $AP$ と線分 $CQ$ の交点を $R$ とする。以下の問いに答えなさい。

(1) $\cos{\angle BAC}$ を求めなさい。

(2) $\triangle ABC$ の面積を求めなさい。

(3) $\triangle APC$ の面積を求めなさい。

(4) $\triangle AQR$ の面積と $\triangle RPC$ の面積の比が $3:2$ となるような $t$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角形の面積比から $t$ の値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\displaystyle \cos{\angle BAC}=\frac{9+36-49}{2\cdot 3\cdot 6}=-\frac{1}{9}$

となりますので、 $\displaystyle \sin{\angle BAC}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$ となります。

したがって、 $\triangle ABC$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 3\times 6\times \frac{4\sqrt{5}}{9}=4\sqrt{5}$

となります。また、線分 $AP$ は $\angle BAC$ の2等分線ですので、点 $P$ は線分 $BC$ を $AB:BC=1:2$ に内分します。

$\trinagle ABC$ と $\triangle APC$ の高さは共通ですので、面積比は $BC:PC=3:2$ となります。

よって $\triangle APC$ の面積は $\displaystyle \frac{2}{3}\times 4\sqrt{5}=\frac{8\sqrt{5}}{3}$ となります。

$QR:RC=3t:6$ ですので、 $\displaystyle \triangle AQR=\frac{t}{2}\triangle ARC$ となります。

また、メネラウスの定理を用いると $\displaystyle \triangle RPC=\frac{2-2t}{3t}\triangle ARC$ となります。

面積比が $\triangle AQR:\triangle RPC=3:2$ となるとき

$\displaystyle 3:2=\frac{t}{2}:\frac{2-2t}{3t}$

となりますので、これを満たす $t$ を求めると $t=\sqrt{3}-1$ となります。

いかがだったでしょうか？

面積比の問題は時々目にしますが、高校入試でもよく見られます。

このようなタイプの問題は線分比や高さの比に注目すれば解くことができます。

特に高さが同じ場合が多いですので、そこに注目すれば面積比が線分の比に一致することがわかるかと思います。

　

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