マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220727

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今週は東京未来大学2018年の問題です。

今回は1日目の第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

正弦定理と余弦定理を使う問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

図形の問題はまず図を描いて問題を把握します。以下のようになります。

 \triangle ABCの面積は、2辺とその間の角の情報が与えられていますので求めることができます。

 \displaystyle \frac{1}{2}\times AB\times BC\times \sin{\angle ABC}=\frac{1}{2}\times 12\times 8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}

余弦定理 AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\times AB\times BC\times \cos{\angle ABC}を用いて ACの長さを求めると AC=4\sqrt{7}になります。

三角形の外接円の半径は正弦定理を用いて求めます。

先ほど求めた ACの長さと \angle ABCの大きさがわかっていますので、これらの値と正弦定理を使うと

 \displaystyle R=\frac{1}{2}\times \frac{4\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{21}}{3}

 \cos{\angle BAC}の値は、ここまでで3辺の長さがわかりましたので、余弦定理により

 \cos{\angle BAC}=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}=\frac{2\sqrt{7}}{7}

のようにして求めることができます。

 \triangle ADCの面積は、 \triangle ABCの面積から \triangle ABDを引くと求められます。

線分比 BC:BD=14:3であることを用いて求めることもできます。

いかがだったでしょうか?

基礎がしっかりしていればすんなり解ける問題でした。

正弦定理と余弦定理を用いた基礎問題かと思います。

この問題を通して正弦定理と余弦定理の使い方をマスターするのも良いかもしれません。

 

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