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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
今週は東京都教員採用試験の問題です。
今回は令和3年実施の問題の大問2です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
立方体の問題です。最後が少し難しかったです。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
下の画像は問題に付いていた参考図です。
(1)の長さと
の値が分かれば点
から直線
に下ろした垂線の長さがわかりそうです。
点は辺
の中点ですので、三平方の定理を使って
の長さを求めることができます。
同様に辺、辺
の長さも求められます。結果は以下の通りです。
について、3辺の長さがわかりましたので、余弦定理を使って
の値を求めます。
必要な値はですので、三角比の相互関係を使って求めます。
ここまでが点から直線
に下ろした垂線の長さを求めるための準備です。
この長さはで求められます。
また、四角形は
の台形ですので、その面積は先ほど求めた垂線の長さを
とすると
で求められます。
(2) 平面と直線
との交点を
とすると、
は四面体
の高さが半分のところに位置しています。
すなわち、点がそれぞれ辺
、
、
の中点になっています。
したがって、となります。
立体と立体
は相似比
の相似な立体ですので、体積比は
です。
求める立体の体積は、立体
から立体
を除いた部分の体積です。
(3) 下の画像は、上の図が平面を真上から見た図、下の図は平面
を真横から見た図です。
この画像の上の図から、内接する球の半径を三平方の定理によって2であることがわかります。
次は、平面を真横から見た図です。
画像の下部にできている角をとしています。
の長さの辺は、平面
で、これは(1)で求めた垂線の長さです。
4の長さの辺は、立方体に内接する球の直径です。
の長さの辺は、線分
と球が平面
で接する接点までの距離です。
この図のような関係にありますので、三角比の定義よりとなります。
したがって、点と平面
との距離は
ということになります。
球と平面との共通部分は円になりますが、その面積を求めるためにこの円の半径または直径を求める必要があります。
そこで使う図が平面を真横から見た図です。
この図のの値が求められれば、求めたい円の直径(赤ペンで記してある部分)がわかるのですが、ここは方べきの定理を使います。
この定理よりという方程式が立ちますので、これを解くと
ですので、円の直径は
であることがわかります。
半径はこの半分なので、この円の面積はとなります。
いかがだったでしょうか？
最後の問題でかなり労力を使いました。
知識でゴリ押した感じがしますが、もしかしたらもっと良い解き方があるのかも知れません。（もしもあればコメントかメールでご連絡ください）
図を何枚か用意していますが、ここに行き着くまでに時間がかかりました。まだまだ修行が必要です。
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
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