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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
今週は図形の性質の入試問題です。
今回の問題は2014年高崎経済大学で出題された問題です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
チェバの定理とメネラウスの定理を駆使して解く問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
図を描くと次のようになります。
(1)チェバの定理からBG:GC=8:2であることがわかりますので、これをもとにBGの長さを求めます。
BC=10であることから求められます。
(2)メネラウスの定理よりGF:FA=1:5になりますので、GAの長さが分かればGFの長さが求まります。
(3)メネラウスの定理よりHI:IA=1:2になりますので、AHの長さが求まればHIの長さがわかります。
(4)△IFHと△CHIは高さが共通なので、CI:FIがこの二つの三角形の面積比になります。
これもメネラウスの定理を用いればCI:CF=2:1であることがわかります。
また、△CHIは直角三角形なのでCHとHIの長さがわかれば面積を求めることができます。
AHは頂点Aから辺BCに下ろした垂線ですが、△ABCが正三角形であることから垂直二等分線になります。
したがって、点HはBCの中点になりますのでCH=5となります。
メネラウスの定理と三平方の定理を使ってIHの長さを求めれば△CHIの面積が求められますので、ここまでこればほぼクリアです。
いかがだったでしょうか？
チェバの定理とメネラウスの定理を使ういい練習台ではないでしょうか。
「ここの辺の比がわかればなぁ」と考えてみるとチェバの定理かメネラウスの定理を使えば求められるものばかりなので方針が立てやすかったです。
定期テスト前に練習してもいいかもしれませんね。
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
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