方程式と複素数の問題ver.20220307 - 数学の問題を解説してみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は方程式と複素数の入試問題です。

今回の問題は2018年東北学院大学で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆です。

前半は恒等式に関する知識が必要になります。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

等式がxの恒等式になりますので、次の条件を満たします。

・xにどんな数値を代入しても等式が成り立つ

・両辺をxの多項式とみたとき、xの同じ次数の係数が等しい

このどちらかを使って未知数のaとbの値を求めます。

今回の問題に関しては後者の方が計算が楽なので、この方針で考えてみます。

等式の右辺を展開すると

$x^{4}+(2a+b^{2})x^{2}+4bx+a^{2}-4$

になりますので、各次数の係数を比較すると

$2a-b^{2}=-31,\ 4b=20,\ a^{2}-4=5$

この連立方程式を解くとaとbの値が求められます。

最後の方程式は最初の恒等式と因数分解の公式 $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ を使って $x^{4}-31x^{2}+20x+5$ を因数分解して、方程式の解を求めます。

最初あたりがヒントになっているので、それを使えばサクサク解ける問題でした。

「前の問題が使えないか？」と睨んでみると方針が見えてきます。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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