マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

方程式と複素数の問題ver.20220307

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今週は方程式と複素数の入試問題です。

今回の問題は2018年東北学院大学で出題された問題です。

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今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

前半は恒等式に関する知識が必要になります。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

等式がxの恒等式になりますので、次の条件を満たします。

・xにどんな数値を代入しても等式が成り立つ

・両辺をxの多項式とみたとき、xの同じ次数の係数が等しい

このどちらかを使って未知数のaとbの値を求めます。

今回の問題に関しては後者の方が計算が楽なので、この方針で考えてみます。

等式の右辺を展開すると

 x^{4}+(2a+b^{2})x^{2}+4bx+a^{2}-4

になりますので、各次数の係数を比較すると

2a-b^{2}=-31,\ 4b=20,\ a^{2}-4=5

この連立方程式を解くとaとbの値が求められます。

最後の方程式は最初の恒等式因数分解の公式 A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)を使って x^{4}-31x^{2}+20x+5因数分解して、方程式の解を求めます。

いかがだったでしょうか?

最初あたりがヒントになっているので、それを使えばサクサク解ける問題でした。

「前の問題が使えないか?」と睨んでみると方針が見えてきます。

 

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