東京女子大学の問題【2019年1日目第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京女子大学の2019年の問題です。

今回は文系学部1日目第1問です。

難易度は☆☆☆です。

条件に積分が含まれる3次関数の決定問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

$f(x+1)-f(x)=3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c$ ですので、 $f(x+1)-f(x)=3x^{2}+x+1$ という条件から

$3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c=3x^{2}+x+1$

です。この等式が $x$ の恒等式ですので

$\left{ \begin{array}{ccc} 3a&=&3\\ 3a+2b&=&1\\ a+b+c&=&1\end{array}\right.$

という連立方程式が成り立ちます。この連立方程式を解くと

$a=1,\ b=-1,\ c=1$

となります。

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx$ と先ほどの結果から

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{5}{12}+d$

となります。 $\int_{0}^{1}f(x)dx=1$ という条件から $\displaystyle d=\frac{7}{12}$ ということが求められます。

恒等式の知識と積分の計算力が問われる問題でした。

難易度的には難しくないので良い練習台にはなるのではないかと思います。

入試問題には文字式を含む問題が多いので、このような易しめの問題で訓練するのも良さそうです。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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