首都大学東京の問題【2008年前期日程第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は首都大学東京2007年・2008年の問題です。

今回は2008年文系学部前期日程第2問です。

難易度は☆☆☆☆です。

対数関数の方程式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

対数関数の方程式は底を揃えておくことが基本になります。

前半の方程式を変形すると

$3(\log_{2}{x})^{2}-2\log_{2}{x}=0$

となりますので、これを解くと $\displaystyle \log_{2}{x}=0,\frac{2}{3}$ であることから $x=1,\sqrt[3]{4}$ となります。

後半の方程式を変形すると

$\log_{10}{xy}=\log_{10}{(y+2x^{2}+1)}$

ですが、両辺の対数の底が揃っていますので $xy=y+2x^{2}+1$ が得られます。

この式をさらに変形させて

$(x-1)(2x-y+2)=-3$

が得られます。 $x$ と $y$ は自然数ですので

$(x-1,2x-y+2)=(3,-1),(1,-3)$

であることがわかりますので、それぞれの連立方程式を解いて $(x,y)=(4,11),(2,9)$ となります。

対数関数の底の変換や性質をしっかりおさえておけば解ける問題でした。

それらを使って式変形ができるかがポイントになります。

対数関数の底の数字が小さいので、問題文や式などはよく見ておかないと間違ってしまう可能性がありますので、注意深くいきたいところです。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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