マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都立大学の問題【2020年前期日程第1問】

指数関数と対数関数入試問題

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今週は2019年首都大学東京、2020年東京都立大学の問題です。

今回は2020年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

対数関数に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

対数関数の基本的な性質

・ $\log_{a}{PQ}=\log_{a}{P}+\log_{a}{Q}$

・ $\displaystyle \log_{a}{\frac{P}{Q}}=\log_{a}{P}-\log_{a}{Q}$

・ $\log_{a}{P^{n}}=n\log_{a}{P}$

を使って考えていきます。

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}(2\log_{\frac{1}{2}}{x})^{2}-\{ \log_{\frac{1}{2}}{8}+(1-a)\log_{\frac{1}{2}}{x}\} +a-8$

$\displaystyle =(\log_{\frac{1}{2}}{x})^{2}-(a-1)\log_{\frac{1}{2}}{x}+a-5$

となりますので、 $\displaystyle t=\log_{\frac{1}{2}}{x}$ とおくと

$f(x)=t^{2}+(a-1)t+a-5$

となります。ここで、 $t$ のとりうる値の範囲を考えると $1\leqq x\leqq 4$ なので $-2\leqq t\leqq 0$ となります。

$f(x)$ を $t$ で表された関数を $g(t)$ 、 $t$ についての方程式 $g(t)=0$ の判別式を $D$ とすると、「 $1\leqq x\leqq 4$ のとき $f(x)\lt 0$ 」を満たすような条件は

(1) $D\gt 0$

(2) $g(-2)\lt 0$

(3) $g(0)\lt 0$

の3つ全てです。ここから $a$ に関する連立不等式を立てると

(1)より $(a-1)^{2}-4(a-5)\gt 0$ ですが、この式の左辺を変形すると $(a-3)^{2}+12$ ですので、この不等式の解は実数全体となります。

(2)より $-a+1\lt 0$ 、(3)より $a-5\lt 0$ ですので、この連立不等式を解くと $1\lt a\lt 5$ となります。

いかがだったでしょうか？

対数関数の基本性質が理解できているかどうかを問われている問題でした。

対数関数の問題は基本性質や底の変換公式を覚えておくと、ほとんどの問題は解決できるかと思います。

ネタが他と比べて少ないのかもしれませんが、数学Ⅱの範囲での対数関数の問題はあまり見られません。

ですが、出題される可能性がありますのでチェックしておきたいです。

　

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