マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2019年1日目第2問】

数列入試問題

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は東京女子大学2019年の問題です。

今回は文系学部1日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式は次のように変形することができます。

$a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+1$

したがって $b_{n+1}=2b_{n}+1$ となります。

$\alpha =2\alpha +1$ となる $\alpha$ を求めると、 $\alpha =-1$ となりますので、数列 $\{ b_{n}\}$ の漸化式は

$b_{n+1}+1=2(b_{n}+1)$

と変形することができます。

また、数列 $\{ b_{n}\}$ の初項は $b_{1}=a_{2}-a_{1}=2$ なので、漸化式から

$b_{n}=3\cdot 2^{n-1}-1$

を導くことができます。

数列 $\{b_{n}\}$ のおき方から、数列 $\{b_{n}\}$ は数列 $\{ a_{n}\}$ の階差数列ですので $n\geqq 2$ のとき

$\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}$

$=3\cdot 2^{n-1}-n-1$

と導くことができ、この式は $n=1$ のときも成り立ちますので、これが数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項となります。

いかがだったでしょうか？

漸化式の基本的な問題でした。

このタイプの問題は置き換えの仕方が問題文に書いていますので、その通りに進めていけば解くことができます。

あとはやり方ですが、このあたりは訓練が必要になってきそうです。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper