東京女子大学の問題【2022年2日目第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京女子大学2022年の問題です。

今回は文系学部2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角形の残りの辺の長さを求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$BC=a,\ CA=b$ とおくと、 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$a^{2}=b^{2}-3b+9$

が成り立ちますが、この式を変形すると

$(2a+2b-3)(2a-2b+3)=27$

となります。三角形の成立条件から $|a-b|\lt 3\lt a+b$ が成り立ちますので $-3\lt a-b\lt 3$ となります。

したがって、 $2a+2b-3\gt 3$ かつ $a,\ b$ が整数であることから

$\left\{ \begin{array}{ccc} 2a-2b+3&=&3\\ 2a+2b-3&=&9\end{array}\right.$ または $\left\{ \begin{array}{ccc}2a-2b+3&=&1\\ 2a+2b-3&=&27\end{array}\right.$ が導き出されます。

それぞれの連立方程式を解くと $\left\{ \begin{array}{cc} BC=3&CA=3\\ BC=7&CA=8\end{array}\right.$ となります。

いかがだったでしょうか？

置き換えを行うと見通しがよくなるかと思います。

あとは余弦定理を用いて候補素絞っていきますが、その後の等式変形が難しいかと思います。

三角形の成立条件にも注意が必要です。

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