マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2009年中高共通第1問】

図形と方程式教員採用試験の過去問

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今週は2009年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

座標平面上の3点 $A(2,3),\ B(-2,-1),\ C(2,-3)$ がある。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)3点 $A,B,C$ を通る円の方程式を求めなさい。

(2) $\angle BAC=\theta$ とするとき、 $\cos{\theta }$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

円の方程式と三角形の1つの角の余弦の値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

前半は円の方程式を求める問題、後半は $\cos{\angle BAC}$ の値を求める問題になっています。いずれも教科書用の問題集に載っているような問題ですので、そこまでは難しくないです。

3点 $A(2,3),\ B(-2,-1),\ C(2,-3)$ を通る円の方程式を $x^{2}+y^{2}+mx+ny+l=0$ とおくと、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} 4+9+2m+3n+l&=&0\\ 4+1-2m-n+l&=&0\\ 4+9+2m-3n+l&=&0\end{array}\right.$

が成り立ちます。この連立方程式の解は $m=-2,\ n=0,\ l=-9$ となりますので、円の方程式は

$x^{2}+y^{2}-2x-9=0$

となります。この式を変形すると $(x-1)^{2}+y^{2}=10$ となりますので、この円は中心が $(1,0)$ 、半径が $\sqrt{10}$ の円であることがわかります。

後半の問題は3辺の長さを求めて余弦定理を用いて計算をすれば解決される問題です。各点の座標から $AB=4\sqrt{2},\ BC=2\sqrt{5},\ CA=6$ であることがわかりますので、 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\displaystyle \cos{\theta }=\frac{32+36-20}{2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

となります。問題文の方は分母の有理化をしてあります。

いかがだったでしょうか？

前半、後半とも基礎問題と言える問題でした。

図形と方程式の分野の知識が問われるものだと思います。

大学入試でも教員採用試験でも落としてはいけない問題ですので、解けなかったら復習が必要そうです。

　

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