徳島県教員採用試験の問題【2004年中高共通第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2008年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回はネタ切れのため、2004年中高共通第2問です。

今回の問題の原文

$xy$ 平面上の3点 $O(0,0),\ A(5,0),\ B(1,4)$ を頂点とする $\triangle OAB$ の面積を直線 $y=x-k$ が二等分するように $k$ の値を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

図形の面積を2等分する直線を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まず、 $\triangle OAB$ の面積を求めてみます。線分 $OA$ が $x$ 軸上にありますので、これを底辺と見ると、高さは点 $B$ の $y$ 座標になります。したがって、 $\triangle OAB$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 5\times 4=10$

となります。この面積を2等分するということは、割った2つの部分の面積がともに $5$ になれば良いということになります。

そこで、この三角形を直線 $y=x$ で割ってみることを考えてみます。図で表すと以下のようになります。

青い線が $\triangle OAB$ 、赤い点線が $y=x$ です。辺 $AB$ と直線 $y=x$ との交点を $C$ とすると、 $\triangle OAC$ の面積は、点 $C$ の座標が $\displaystyle \left( \frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)$ ですので $\displaystyle \frac{25}{4}$ となります。この値は $5$ より大きくなりますので、求める直線 $y=x-k$ は赤い点線より下側にあります。このとき、 $y=x-k$ は線分 $OA$ を通ることになります。ちなみに、正解の直線は以下の図の赤い点線になります。

直線 $y=x-k$ と辺 $OA,\ AB$ との交点をそれぞれ $P,\ Q$ とすると、点 $P$ の座標は $(k,0)$ 、点 $Q$ の座標は、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} y&=&x-k\\ y&=&-x+5\end{array}\right.$

を $x,y$ について解いて $\displaystyle \left( \frac{k+5}{2},\frac{-k+5}{2}\right)$ となります。点 $P$ が線分 $OA$ 上にありますので $0\lt k\lt 5$ であることに注意します。よって、 $PQ$ の長さは

$\begin{eqnarray*}PQ^{2}&=&\left( \frac{k+5}{2}-k\right) ^{2}+\left( \frac{-k+5}{2}\right) ^{2}\\ &=&2\left( \frac{-k+5}{2}\right) ^{2}\end{eqnarray*}$

ですので、 $\displaystyle PQ=\frac{1}{\sqrt{2}}(5-k)$ となります。あとは直線 $y=x-k$ と点 $A$ との距離を求めれば $\triangle APQ$ の面積を求めることができます。この距離は $\displaystyle \frac{5-k}{\sqrt{2}}$ ですので、 $\triangle APQ$ の面積は $k$ を用いて表すと